Chapitre 12 : Probabilités - g
publicité
Chapitre 12 : Probabilités I. Expérience aléatoire : vocabulaire Définition : Une expérience est dite …………………………… lorsque son résultat est déterminé par le ………………………… et ne peut donc pas être prévu à l’avance avec certitude. Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est appelé une ………………………. Exemple 1 : On lance un dé cubique non truqué à 6 faces numérotés de 1 à 6 et on note le résultat obtenu. C’est donc une expérience ……………………………… à six …………………… : ………………………………………… Définition : Un ………………………………… , s’il est réalisé, est constitué d’une ou plusieurs issues. Exemple 1 : A : « Obtenir un nombre pair » est un …………………… réalisé par trois ……………… : ………………………. B : « Obtenir un nombre strictement supérieur à 5 » est un ……………………… réalisé par une seule …………… : …… Définition : Un évènement qui n’a qu’une seule issue est appelé un évènement …………………………………. Un évènement qui ne peut pas se réaliser est appelé évènement ……………………………………. Un évènement dont on est sûr qu’il se réalise est appelé évènement ……………………………………. Exemple 1 : « Obtenir 1 » est un évènement …………………………. « Obtenir 0 » est un évènement …………………………. « Obtenir un nombre entier » est un évènement ………………………………. II. Notion de probabilité Nous allons simuler une tirage d’un dé à 6 faces à l’aide de la calculatrice en utilisant la formule Ran (de l’anglais Random qui veut dire aléatoire) Casio fx-92 Spéciale Collège Par groupe de 2, Appuis 20 fois sur la touche Ti-Collège Plus ou et note les résultats : Complète le tableau suivant : Numéro Nombre d’apparition du numéro Fréquence d’apparition du numéro (sous forme de fraction) Fréquence d’apparition du numéro (sous forme décimale) On va regrouper toutes les valeurs de la classe : Numéro Nombre d’apparition du numéro Fréquence d’apparition du numéro Que remarques-tu ? Pourquoi ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Conclusion : Lorsqu’on répète un très grand nombre de fois une expérience dans les mêmes conditions, la fréquence de réalisation d’un évènement E se rapproche d’une valeur …………. Cette valeur est la ………………………………… de l’évènement E, que l’on note p(E). Dans notre exemple de lancer de dé, la fréquence de sortie de chaque numéro se rapproche de la valeur ………. Propriété : Dans une expérience aléatoire où toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser (on parle de situation d’…………………………………), la probabilité d’un évènement est égale au quotient suivant : 𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅′𝒊𝒔𝒔𝒖𝒆𝒔 … … … … … … … … à 𝒍′ é𝒗è𝒏𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅′𝒊𝒔𝒔𝒖𝒆𝒔 … … … … … … … Exemples : Sur le lancer d’un dé, la probabilité de l’évènement « obtenir le nombre 1 » est égale à …………. A : « Obtenir un nombre pair », p(A) = …… = …… car il y a ……… issues favorables sur ……… issues possibles. On tourne une roue suivante avec des secteurs identiques : B : « Obtenir un multiple de 3 », alors p(B) = ……… = ……… C : « Obtenir une case vert », alors p(C) = ……… = ……… D : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 8 », alors p(D) = ……… = ……… E : « Obtenir une case jaune », alors p(E) = ……… = ……… F : « Obtenir un nombre premier », alors p(F) = ……… = ……… Propriété : La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires est égale à ……………. Exemple : Soit l’évènement A : « Obtenir un 1 ». Alors 𝑝(𝐴) = …. On considère les évènements suivants : A : « Obtenir un 1 » B : « Obtenir un 2 » C : « Obtenir un 3 » D : « Obtenir un 4 » E : « Obtenir un 5 » F : « Obtenir un 6 » Alors 𝒑(𝑨) + 𝒑(𝑩) + 𝒑(𝑪) + 𝒑(𝑫) + 𝒑(𝑬) + 𝒑(𝑭) = …………………………………………………………………………… Propriété : Une probabilité est un nombre compris entre ………… et …………. Définition : Soit l’évènement A : « Obtenir 1 ». L’évènement …………………………… de l’évènement A est l’évènement : « ……………………… Obtenir 1 » est noté 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐴̅ ) = … ou encore 𝐴̅ 𝑝(𝐴̅ ) = 1 − … … … p Exemple : Soit l’évènement A : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ». Alors 𝑝(𝐴) = …. 𝐴̅ est l’évènement : « Obtenir un nombre ………………………………………… à 5. » 𝑝(𝐴̅) = 1 − … … = … Exercice : Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules vertes et 4 boules jaunes. Chacune de ces boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1) Calcule la probabilité pour que cette boule soit rouge. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) Calcule la probabilité pour que cette boule ne soit pas verte. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3) On ajoute dans ce sac des boules bleues. Le sac contient alors 10 boules rouges, 6 boules vertes, 4 boules jaunes et les boules bleues. On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue est égale à 1 , calcule le 5 nombre de boules bleues. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… III. Utilisation d’arbres Exemple 1 : Pour s’habiller, Arthur a le choix entre trois t-shirts (un vert, un bleu et un rouge) et deux shorts (un vert et un bleu). Il décide de choisir au hasard un t-shirt puis un short. Quelle est la probabilité qu’Arthur soit habillé intégralement en vert ? T-Shirt Short Pour répondre à cette question, nous allons faire un arbre de probabilité : Il y a donc …………… issues possibles : …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Chaque issue a la même probabilité. La probabilité qu’Arthur s’habille intégralement en vert est …………. Propriété : Sur un arbre pondéré représentant une expérience à deux étapes, pour calculer la probabilité d’une issue, on …………………………… les probabilités des branches qui mènent à cette issue. Exemple 2 : On tire une boule dans la boite 1 et on note sa couleur. On tire ensuite une autre boule dans la boite 2 et on note sa couleur. Construis l’arbre pondéré correspondant à cette expérience puis calcule la probabilité de chaque issue. Etape 1 Etape 2 Issues Probabilités
