Devoir probabilités

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Exercice 1
Les questions 1, 2, 3 sont indépendantes.
1. A, B sont deux évènements tels que : p(A) = 0, 45, p(B) = 0, 6 et p(A ∪ B) = 0, 8.
a) Calculer p(A ∩ B).
b) Peut-on avoir p(A ∪ B) = 0, 5 ?
2. D et E sont deux évènements incompatibles tels que :
p(Ē) = 0, 6
et
p(D ∪ E) = 0, 6.
Calculer p(D).
3. Dans une chaîne de fabrication, deux défauts sont possibles sur les pièces usinées en sortie
de chaîne.
Une étude statistique a permis de déceler que sur 100 pièces :
– 20 présentent au moins le défaut A ;
– 24 présentent au moins le défaut B ;
– 15 présentent les deux défauts.
On tire au hasard une pièce en sortie de chaîne.
On considère les évènements suivants :
– A : « La pièce présente le défaut A » ;
– B : « La pièce présente le défaut B ».
a) Décrire par une phrase et calculer la probabilité de l’évènement E = A ∩ B.
b) Décrire par une phrase et calculer la probabilité de l’évènement F = A ∩ B̄.
c) Décrire par une phrase et calculer la probabilité de l’évènement G = Ā ∩ B.
d) Décrire à l’aide d’opérations sr les évènements précédents (∪, ∩, .̄) les évènements
suivants puis calculer leur probabilité :
i. « La pièce ne présente aucun défaut » ;
ii. « La pièce présente un et un seul défaut ».
Exercice 2
Quatre boules indiscernables au toucher sont placées dans une urne ; deux sont blanches (B1
et B2) et deux sont noires (N 1 et N 2).
On tire au hasard et successivement toutes les boules de l’urne.
1. Justifier, à l’aide d’un arbre, qu’on peut choisir un univers constitué de 24 issues.
2. Quelle loi de probabilité semble-t-il raisonnable de choisir sur cet univers ?
3. On désigne par R la variable aléatoire donnant le rang de la première boule blanche tirée.
a) Déterminer la loi de probabilité de R.
b) Donner l’espérance de R.
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Exercice 3
Une urne contient N boules numérotées de 1 à N , toutes indiscernables au toucher.
Un joueur tire une première boule, la remet, puis une seconde. Il est gagnant si le numéro
inscrit sur la deuxième boule est strictement supérieur au numéro inscrit sur la première boule.
1. Montrer que la probabilité de gagner à ce jeu est
la situation.
1
2
1
− 2N
, vous modéliserez soigneusement
2. Quelle est la probabilité de perdre à ce jeu ?
3. Commenter les résultats précédents.
4. Les deux questions suivantes sont indépendantes :
a) Une étude a réussi à montrer que la probabilité de gagner à ce jeu était de 0, 499,
combien y a-t-il de boules dans l’urne ?
b) On gagne 10 euros lorsqu’on gagne à ce jeu, par contre on en perd 9 dans le cas
contraire. Déterminer le nombre de boules qu’il doit y avoir dans l’urne pour que le jeu
soit équitable.
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