Programme des khôlles de Mathématiques Chapitre 13

Programme des khôlles de Mathématiques
S18 : semaine du 23 au 27 janvier
Tout ce qui est encadré est à connaître et peut faire l’objet d’une question de cours.
Chaque étudiant aura :
• Deux questions de cours (définitions, résultats et/ou exercices faits en cours ou exercice à préparer seul).
• Un ou plusieurs exercices.
Chapitre 13 : Probabilités sur un univers fini
Expérience aléatoire, univers, évènements (en particulier : évènement certain et évènement impossible).
Opérations sur les évènements : A, A [ B et A \ B.
Un évènement est un sous-ensemble de l’univers : toutes les règles liés aux ensembles restent vraies
(distributivité, inclusions usuelles, lois de Morgan).
Définition : Évènements incompatibles
Système complet d’évènements.
Définition : Probabilité
Espace probabilisé fini.
Un exemple important : l’équiprobabilité. Dans cette situation, on sait calculer facilement la
probabilité d’un évènement à l’aide de son cardinal et du cardinal de l’univers.
Exercice à retenir : Une urne contient 7 boules rouges et 5 boules blanches.
On tire au hasard deux boules de cette urne. Déterminer la probabilité d’obtenir deux boules de la même
couleur dans les cas suivants :
1. Le tirage est simultané.
2. On tire une boule après l’autre, sans remise.
3. On tire une boule après l’autre, avec remise.
Propriétés d’une probabilité : P (A), P (A \ B)
Croissance + Preuve
Probabilité d’une union
Formule de Poincaré
Chapitre 14 : Les polynômes
Fonction polynômiale, degré et coefficient dominant, polynôme nul (par convention de degré 1).
Ensembles R[X], Rn [X]
Un polynôme est nul si et seulement si ses coefficients sont nuls. Corollaire : deux polynômes sont égaux si
et seulement si ils ont le même degré et les mêmes coefficients.
Degré d’une somme et d’un produit
Racine d’un polynôme.
Théorème : Racine et factorisation
Deux méthodes : identification et division euclidienne.
Lien : nombre de racines et degré.
Exercices à préparer seul
? Lors d’une khôlle avec 3 élèves, Mr Bailleul donne successivement et au hasard 1 une note à chaque élève
(une note étant un entier entre 0 et 20). Quelle est la probabilité que les 3 élèves aient une note strictement
plus petite que 10 ? La probabilité qu’ils aient tous les trois la même note ?
? Soit P le polynôme défini pour tout x 2 R par P (x) = x3
de P et en déduire les racines de P .
1. Ce n’est évidemment pas vrai...
x2
4x + 4. Déterminer une racine évidente