10 points On rappelle que la probabilité d`un évènement A sachant

DEVOIR MAISON N°
Terminale S Pour le :
EXERCICE :10 points
On rappelle que la probabilité d’un évènement A sachant que l’évènement B est réalisé se note pB(A).
Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher.
On tire au hasard une boule de l’urne :
si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute nboules blanches supplémen-
taires.
si la boule tirée est noire, on la remet dans l’urne et on ajoute nboules noires supplémentaires.
On tire ensuite au hasard une seconde boule de l’urne.
On note :
B1l’événement : « on obtient une boule blanche au premier tirage »
B2l’événement : « on obtient une boule blanche au second tirage »
Al’événement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».
1. Dans cette question, on prend n=10.
a. Calculer la probabilité p(B1B2)et montrer que p(B2)=3
4.
b. Calculer pB2(B1)en utilisant les résultats précédents.
c. Montrer que p(A)=3
10.
2. On prend toujours n=10.
Huit joueurs réalisent l’épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.
On appelle Xla variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l’évène-
ment A.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire réelle X?
b. Déterminer p(X=3). (On donnera la réponse à 102près).
c. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
3. Dans cette question nest un entier supérieur ou égal à 1.
Existe-t-il une valeur de npour laquelle p(A)=1
4?
2011-2012 1 Florent Lebreton
CORRIGÉ DE LEXERCICE
1. Dans cette question, on prend n=10.
a. On a l’arbre de probabilités suivant :
B1
30
40
B2
40
50
B2
10
50
B1
10
40
B2
30
50
B2
20
50
p(B1B2)=p(B1)×pB1(B2)=30
40 ×40
50 =30
50 =3
5=0,6.
On calcule de même p³B1B2´=p³B1´×pB1(B2)=30
50 ×10
40 =3
20 =0,15.
D’après la loi des probabilités totales :
p(B2)=p(B1B2)+p³B1B2´=3
5+3
20 =12 +3
20 =15
20 =3
4=0,75.
b. On a pB2(B1)=p(B1B2)
p(B2)=
3
5
3
4
=3
5×4
3=4
5=0,8.
c. On a p(A)=p³B1B2´+p³B1B2´=3
4×1
5+3
20 =3
20 +3
20 =6
20 =3
10 =0,3.
2. a. On a une loi binomiale de paramètres n=8 et p=p(A)=3
10.
b. La probabilité d’avoir 3 fois l’évènement Aest donc grâce à ce qui précède :
Ã8
3!µ3
103µ13
1083
=8×7×6
3×2µ3
103µ7
105
0,254 0,25.
c. On a E(X) = n×p=8×3
10 =12
5=2,4 ; car X suit une loi de Bernoulli de paramètres n=8 et
p=0,3.
3. On reprend l’arbre précédent, mais en ajoutant nboules :
B1
30
40
B2
30+n
40+n
B2
10
40+n
B1
10
40
B2
30
40+n
B2
10+n
40+n
Ici p(A)=30
40 ×10
40 +n+10
40 ×30
40 +n=15
40 +n.
D’où p(A)=1
415
40 +n=1
460 =40 +nn=20. On ne perd pas de vue que nest un
entier naturel donc 40+n>0 et ainsi le dénominateur ne s’annule pas.
2011-2012 2 Florent Lebreton
1 / 2 100%

10 points On rappelle que la probabilité d`un évènement A sachant

La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !