10 points On rappelle que la probabilité d`un évènement A sachant

DEVOIR MAISON N°
Terminale S Pour le :
EXERCICE :10 points
On rappelle que la probabilité d’un évènement A sachant que l’évènement B est réalisé se note pB(A).
Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher.
On tire au hasard une boule de l’urne :
•si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute nboules blanches supplémen-
taires.
•si la boule tirée est noire, on la remet dans l’urne et on ajoute nboules noires supplémentaires.
On tire ensuite au hasard une seconde boule de l’urne.
On note :
•B1l’événement : « on obtient une boule blanche au premier tirage »
•B2l’événement : « on obtient une boule blanche au second tirage »
•Al’événement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».
1. Dans cette question, on prend n=10.
a. Calculer la probabilité p(B1∩B2)et montrer que p(B2)=3
4.
b. Calculer pB2(B1)en utilisant les résultats précédents.
c. Montrer que p(A)=3
10.
2. On prend toujours n=10.
Huit joueurs réalisent l’épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.
On appelle Xla variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l’évène-
ment A.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire réelle X?
b. Déterminer p(X=3). (On donnera la réponse à 10−2près).
c. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
3. Dans cette question nest un entier supérieur ou égal à 1.
Existe-t-il une valeur de npour laquelle p(A)=1
4?
2011-2012 1 Florent Lebreton

CORRIGÉ DE L’EXERCICE
1. Dans cette question, on prend n=10.
a. On a l’arbre de probabilités suivant :
B1
30
40
B2
40
50
B2
10
50
B1
10
40
B2
30
50
B2
20
50
p(B1∩B2)=p(B1)×pB1(B2)=30
40 ×40 50 =30 50 =3 5=0,6.
On calcule de même p³B1∩B2´=p³B1´×pB1(B2)=30
50 ×10 40 =3 20 =0,15.
D’après la loi des probabilités totales :
p(B2)=p(B1∩B2)+p³B1∩B2´=3
5+3 20 =12 +3 20 =15 20 =3 4=0,75.
b. On a pB2(B1)=p(B1∩B2)
p(B2)=
3
5
3
4
=3
5×4 3=4 5=0,8.
c. On a p(A)=p³B1∩B2´+p³B1∩B2´=3
4×1 5+3 20 =3 20 +3 20 =6 20 =3 10 =0,3.
2. a. On a une loi binomiale de paramètres n=8 et p=p(A)=3
10.
b. La probabilité d’avoir 3 fois l’évènement Aest donc grâce à ce qui précède :
Ã8
3!µ3 10¶3µ1−3 10¶8−3
=8×7×6
3×2µ3 10¶3µ7 10¶5
≈0,254 ≈0,25.
c. On a E(X) = n×p=8×3
10 =12 5=2,4 ; car X suit une loi de Bernoulli de paramètres n=8 et
p=0,3.
3. On reprend l’arbre précédent, mais en ajoutant nboules :
B1
30
40
B2
30+n
40+n
B2
10
40+n
B1
10
40
B2
30
40+n
B2
10+n
40+n
Ici p(A)=30
40 ×10 40 +n+10 40 ×30 40 +n=15 40 +n.
D’où p(A)=1
4⇐⇒ 15 40 +n=1 4⇐⇒ 60 =40 +n⇐⇒ n=20. On ne perd pas de vue que nest un
entier naturel donc 40+n>0 et ainsi le dénominateur ne s’annule pas.
2011-2012 2 Florent Lebreton