Introduction `a l`analyse Exercices 1: éléments de logique et

Introduction ` a l’analyse
Exercices 1: ´el´ements de logique et techniques de preuve
1. D´eterminer la valeur de v´erit´e (VRAI ou FAUX) des ´enonc´es suivants.
(a) 0 = 0 et 2 + 2 = 5
(b) 0 = 0 ou 2 + 2 = 5
(c) Si 0 = 0, alors 2 + 2 = 5.
(d) Si 0 = 0, alors 2 + 2 = 4.
(e) Si 0 = 1, alors 2 + 2 = 5.
(f) Si 0 = 1, alors 2 + 2 = 4.
(g) Pour tout x∈R, x 6= 1.
(h) Il existe x∈Rtel que x6= 1.
(i) Pour tout x∈R, si x≥0, alors
x+ 2 = 4.
2. Soient P, Q, R des ´enonc´es. En faisant les tables de v´erit´e, v´erifier que
(a) les ´enonc´es ∼(P∧Q) et ∼P∨ ∼ Qsont logiquement ´equivalents;
(b) l’´enonc´e ((P⇒Q)∧(Q⇒R)) ⇒(P⇒R) est toujours vrai.
3. R´e´ecrire les ´enonc´es suivants en utilisant des quantificateurs.
(a) Il n’existe pas de plus grand entier.
(b) Entre deux nombres r´eels distincts, il existe toujours un nombre rationnel, distinct
des deux premiers.
4. Formuler la n´egation des ´enonc´es de la question pr´ec´edente (en n’´ecrivant pas “Il est
faux de dire que...”...)
(a) en ´ecrivant au moyen de quantificateurs;
(b) en ´ecrivant en fran¸cais plus litt´eraire.
5. Soit xun nombre r´eel. Que peut-on conclure de chacune des propositions suivantes?
(a) Pour tout ε > 0, x < ε.
(b) Il existe un ε > 0 tel que x < ε.
(c) Pour tout ε > 0, |x|< ε.
6. Montrer que les cˆot´es d’un triangle rectangle sont des entiers cons´ecutifs, alors ces cˆot´es
sont 3, 4 et 5.
7. Soit xun nombre r´eel. Montrer que si x > 3, alors il existe un nombre r´eel y < 0 tel
que x= 3y/(2 + y).
8. (a) Soit xun nombre r´eel. Montrer que si x > 1/2, alors il n’existe pas de nombre
r´eel ytel que x=y/(y2+ 1).
(b) Formuler la r´eciproque de l’´enonc´e d´emontr´e en (a). Est-elle vraie, ou est-elle
fausse? Justifier.