P.C.S.I.1 Exercices de logique Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3

P.C.S.I.1
Exercices de logique
Exercice 1
Soit Iun intervalle non trivial et f:I→Rune application. Exprimer les propri´et´es suivantes au moyen de
quantificateurs :
1. fest constante ;
2. fn’est pas constante ;
3. fs’annule ;
4. fest p´eriodique.
Exercice 2
Pour chacun des ´enonc´es suivants, convertir en langage formalis´e, ou inversement convertir en langage usuel ;
donner la n´egation, et enfin d´emontrer l’´enonc´e ou sa n´egation selon qu’il est vrai ou faux.
1. Tout nombre r´eel xposs`ede un inverse y(c’est-`a-dire qu’on peut trouver ytel que xy = 1).
2. Une condition suffisante pour qu’un r´eel ait une racine carr´ee est qu’il soit sup´erieur ou ´egal `a 1.
3. Si un carr´e est pair alors le nombre est pair.
4. Le seul r´eel positif dont la puissance n−i`eme est 1 est 1.
5. Tout nombre entier de la forme 4n+ 1 est premier.
6. ∃e∈R,∀x∈R, x +e=e+x=x
7. ∀x∈R,∃y∈R, x +y= 0.
8. ∃y∈R,∀x∈R, x +y= 0
9. ∃y∈R,∀x∈R∗xy = 1
10. ∀p∈P\{2},∃n∈N, p = 4n−1 ou p= 4n+ 1. (On note Pl’ensemble des nombres premiers).
11. ∀x∈Z,24|x⇒4|xet 6|x.
12. R´eciproque de l’´enonc´e pr´ec´edent.
13. ∀x, x0∈R, x2=x02⇒x=x0.
Exercice 3
D´eterminer la partie Ede Rd´efinie par chacun des ´enonc´es suivants :
1. x∈Z⇒x > 1
2. x > 1⇒x∈Z
3. x > 1⇔x∈Z
4. x∈Z⇒x∈N
Exercice 4
Soit f:R→Rune application. Nier les assertions suivantes :
1. ∀x∈R, f(x)6= 0
2. ∀M>0,∃A>0,∀x>A, f(x)>M
3. ∀x∈R, f(x)>0⇒x60
4. ∀ε > 0,∃η > 0,∀(x,y)∈R2,(|y−x|6η⇒ |f(y)−f(x)|6ε.
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