P.C.S.I.1 Exercices de logique Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3

P.C.S.I.1
Exercices de logique
Exercice 1
Soit I un intervalle non trivial et f : I → R une application. Exprimer les propriétés suivantes au moyen de
quantificateurs :
1. f est constante ;
2. f n’est pas constante ;
3. f s’annule ;
4. f est périodique.
Exercice 2
Pour chacun des énoncés suivants, convertir en langage formalisé, ou inversement convertir en langage usuel ;
donner la négation, et enfin démontrer l’énoncé ou sa négation selon qu’il est vrai ou faux.
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Tout nombre réel x possède un inverse y (c’est-à-dire qu’on peut trouver y tel que xy = 1).
Une condition suffisante pour qu’un réel ait une racine carrée est qu’il soit supérieur ou égal à 1.
Si un carré est pair alors le nombre est pair.
Le seul réel positif dont la puissance n−ième est 1 est 1.
Tout nombre entier de la forme 4n + 1 est premier.
∃e ∈ R, ∀x ∈ R, x + e = e + x = x
∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + y = 0.
∃y ∈ R, ∀x ∈ R, x + y = 0
∃y ∈ R, ∀x ∈ R∗ xy = 1
∀p ∈ P\{2}, ∃n ∈ N, p = 4n − 1 ou p = 4n + 1. (On note P l’ensemble des nombres premiers).
∀x ∈ Z, 24|x ⇒ 4|x et 6|x.
Réciproque de l’énoncé précédent.
∀x, x0 ∈ R, x2 = x02 ⇒ x = x0 .
Exercice 3
Déterminer la partie E de R définie par chacun des énoncés suivants :
1. x ∈ Z ⇒ x > 1
2. x > 1 ⇒ x ∈ Z
3. x > 1 ⇔ x ∈ Z
4. x ∈ Z ⇒ x ∈ N
Exercice 4
Soit f : R → R une application. Nier les assertions suivantes :
1. ∀x ∈ R, f (x) 6= 0
2. ∀M > 0, ∃A > 0, ∀x > A, f (x) > M
3. ∀x ∈ R, f (x) > 0 ⇒ x 6 0
4. ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀(x,y) ∈ R2 , (|y − x| 6 η ⇒ |f (y) − f (x)| 6 ε.
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