chapitre 1 - math.univ

Université de Tours
Licence L1 de Mathématiques, Informatique, Physique, Chimie, Sciences de la vie - S1
Année 2015-2016
CHAPITRE 1
Exercice 1
Résoudre dans R :
1) x2 − 2x − 3 = 0 ,
x2 − 2x − 3 > 0 ;
2) 2x2 − 7x + 3 = 0 ,
2x2 − 7x + 3 ≤ 0.
Exercice 2
1) Simplifier l’écriture des réels suivants :
a=e
1
2
ln 16
√
b = ln( e5 )
ln 3
−e
c=
q
√
4 − 2 3.
2) Définir puis simplifier
les expressions suivantes où x est un réel :
r
2
2
x−1
A(x) = (x + 1)
et
B(x) = ex + e−x − ex − e−x .
x+1
Exercice 3 Interpréter géométriquement, puis résoudre dans R :
1) |x + 3| ≥ 1 ;
2) 1 < |1 − x| ≤ 5 ;
3) |x + 3| = |x − 5| .
Exercice 4
1) Démontrer que pour tous x et y réels, on a |x + y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire).
À quelle condition sur les nombres réels x et y a-t-on |x + y| = |x| + |y| ?
2) Démontrer que pour tous x et y réels, on a ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
Exercice 5
Soit f : x 7→ |x + 1| − |2x − 1|.
1) Tracer sa courbe représentative C dans (O,~i, ~j).
3
2) Graphiquement, en déduire les points où la fonction f est dérivable et les solutions de |f (x)| ≥ .
2
Exercice 6
Soient x et y deux réels tels que −1 ≤ x ≤ 2 et 3 ≤ y ≤ 4. Encadrer x2 , x − y et xy.
Exercice 7 Démontrer par l’absurde les propositions suivantes
√
/ Q.
1) 2 ∈
2) L’ensemble des nombres premiers est infini.
Exercice 8
1) Soient p et q deux entiers naturels tels que : p ≤ q. Combien y a-t-il d’entiers k tels que : p ≤ k ≤ q ?
2)
a) Expliciter :
A=
4
X
k=1
l
k ,
B=
4
X
l
k,
C=
4
X
l,
k=1
l=1
X
b) À l’aide du symbole
, écrire les sommes suivantes :
D=
4
X
l=1
1
.
k+l
E = 17 + 18 + · · · + 35,
1
1
1
+
+ ··· +
.
F = 26 + 27 + · · · + 213 , G = 30 + 33 + · · · + 297 + 300, Hn =
n+1 n+2
2n + 1
1
Exercice 9
1) Soit a un nombre réel positif. Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N, (1 + a)n ≥ 1 + na.
n
X
n(n + 1)
k=
.
2) Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N∗ on a :
2
3) Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N∗ on a :
4) Démontrer par récurrence que pour tout q 6= 1 on a
n k
X
3
Application : Calculer : Sn =
4
et
k=0
n
X
k=1
n
X
k2 =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
1 − q n+1
.
1−q
k=0
n+1
X 3 k
Tn =
.
4
qk =
k=1
5) Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N∗ on a
n
X
k=1
(2k − 1) = n2 .
6) Redémontrer les résultats 2), 4) et 5) en utilisant une autre méthode.
Exercice 10 Soit n un entier naturel. La fonction factorielle n, notée n! est définie sur N par récurrence
par 0! = 1 et ∀n ≥ 1, n! = n(n − 1)!.
1) Calculer 1!, 2!, 3! et 4!
n
n
n!
.
On définit les coefficients du binôme
pour 0 ≤ k ≤ n par
=
k!(n − k)!
k
k
4
4
5
2) Calculer
,
,
.
2
3
3
n−1
n−1
n
3) Démontrer que pour 1 ≤ k ≤ n,
+
=
.
k−1
k
k
4) La formule du binôme de Newton est donnée par :
(a + b)n =
n X
n
k=0
k
an−k bk .
Vérifier la formule pour n = 1, n = 2 et n = 3.
5) Démontrer l’inégalité de l’exercice 9 question 1) en utilisant la formule du binôme de Newton.
Exercice 11
À l’aide de la formule du binôme de Newton, calculer les sommes suivantes :
7 X
7 k 7−k
A=
2 3
,
k
k=0
10 X
10
B=
k
et
Cn =
k=2
2n
X
k=0
k
(−1)
2n k 2n−k
2 3
.
k
Exercice 12
1) Soient p et q deux entiers naturels tels que p ≤ q. Calculer
2) Calculer Sn =
n
X
k=1
1
.
ln 1 +
k
2
q
X
k=p
(xk+1 − xk ) (télescopage).