chapitre 1 - math.univ

Universit´e de Tours Ann´ee 2015-2016
Licence L1 de Math´ematiques, Informatique, Physique, Chimie, Sciences de la vie - S1
CHAPITRE 1
Exercice 1 R´esoudre dans R:
1) x2−2x−3 = 0 , x2−2x−3>0 ;
2) 2x2−7x+ 3 = 0 , 2x2−7x+ 3 ≤0.
Exercice 2
1) Simplifier l’´ecriture des r´eels suivants :
a=e1
2ln 16 −eln 3 b= ln(√e5)c=q4−2√3 .
2) D´efinir puis simplifier les expressions suivantes o`u xest un r´eel :
A(x) = (x+ 1)rx−1
x+ 1 et B(x) = ex+e−x2−ex−e−x2.
Exercice 3 Interpr´eter g´eom´etriquement, puis r´esoudre dans R:
1) |x+ 3| ≥ 1 ; 2) 1 <|1−x| ≤ 5 ; 3) |x+ 3|=|x−5|.
Exercice 4
1) D´emontrer que pour tous xet yr´eels, on a |x+y| ≤ |x|+|y|(in´egalit´e triangulaire).
`
A quelle condition sur les nombres r´eels xet ya-t-on |x+y|=|x|+|y|?
2) D´emontrer que pour tous xet yr´eels, on a ||x| − |y|| ≤ |x−y|.
Exercice 5 Soit f:x7→ |x+ 1| − |2x−1|.
1) Tracer sa courbe repr´esentative Cdans (O,~ i,~ j).
2) Graphiquement, en d´eduire les points o`u la fonction fest d´erivable et les solutions de |f(x)| ≥ 3
2.
Exercice 6
Soient xet ydeux r´eels tels que −1≤x≤2 et 3 ≤y≤4. Encadrer x2,x−yet xy.
Exercice 7 D´emontrer par l’absurde les propositions suivantes
1) √2/∈Q.
2) L’ensemble des nombres premiers est infini.
Exercice 8
1) Soient pet qdeux entiers naturels tels que : p≤q. Combien y a-t-il d’entiers ktels que : p≤k≤q?
2) a) Expliciter : A=
4
X
k=1
kl,B=
4
X
l=1
kl,C=
4
X
k=1
l,D=
4
X
l=1
1
k+l.
b) ` A l’aide du symbole X, ´ecrire les sommes suivantes : E= 17 + 18 + ···+ 35,
F= 26+ 27+···+ 213,G= 30 + 33 + ···+ 297 + 300, Hn=1
n+ 1 +1 n+ 2 +···+1 2n+ 1.
1

Exercice 9
1) Soit aun nombre r´eel positif. D´emontrer par r´ecurrence que pour tout n∈N, (1 + a)n≥1 + na.
2) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout n∈N∗on a :
n
X
k=1
k=n(n+ 1)
2.
3) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout n∈N∗on a :
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
4) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout q6= 1 on a
n
X
k=0
qk=1−qn+1
1−q.
Application : Calculer : Sn=
n
X
k=0 3
4k
et Tn=
n+1
X
k=1 3
4k
.
5) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout n∈N∗on a
n
X
k=1
(2k−1) = n2.
6) Red´emontrer les r´esultats 2), 4) et 5) en utilisant une autre m´ethode.
Exercice 10 Soit nun entier naturel. La fonction factorielle n, not´ee n! est d´efinie sur Npar r´ecurrence
par 0! = 1 et ∀n≥1, n! = n(n−1)!.
1) Calculer 1!, 2!, 3! et 4!
On d´efinit les coefficients du binˆome n
kpour 0 ≤k≤npar n
k=n!
k!(n−k)!.
2) Calculer 4
2,4
3,5
3.
3) D´emontrer que pour 1 ≤k≤n,n−1
k−1+n−1
k=n
k.
4) La formule du binˆome de Newton est donn´ee par :
(a+b)n=
n
X
k=0 n
kan−kbk.
V´erifier la formule pour n= 1, n= 2 et n= 3.
5) D´emontrer l’in´egalit´e de l’exercice 9 question 1) en utilisant la formule du binˆome de Newton.
Exercice 11 ` A l’aide de la formule du binˆome de Newton, calculer les sommes suivantes :
A=
7
X
k=0 7
k2k37−k, B =
10
X
k=2 10
ket Cn=
2n
X
k=0
(−1)k2n
k2k32n−k.
Exercice 12
1) Soient pet qdeux entiers naturels tels que p≤q. Calculer
q
X
k=p
(xk+1 −xk) (t´elescopage).
2) Calculer Sn=
n
X
k=1
ln 1 + 1
k.
2