TD 1 :´Eléments de logique - Laboratoire de Mathématiques de

Enseignement MT100
Universit´e de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines
Ann´ee 2016-2017
B. Groux
TD 1 : ´ El´ements de logique
Tables de v´erit´e.
Exercice no1.
1. Rappeler les d´efinitions de ”et”, ”ou”, ”non” en compl´etant la table de v´erit´e suivante.
P Q P et Q P ou Qnon P
V V
V F
F V
F F
2. L’implication (P⇒Q) est uniquement une notation pour l’assertion (Qou non(P))
et l’´equivalence (P⇔Q) est une notation pour l’assertion (P⇒Qet Q⇒P).
Compl´eter la table de v´erit´e suivante.
P Q non(P) non(Q)P⇒Q Q ⇒P P ⇔Q
V V
V F
F V
F F
3. Compl´eter la table de v´erit´e suivante.
P Q P ⇔Qnon(P) non(Q) non(P) et non(Q) non(P) ou non(Q)
V V
V F
F V
F F
Que peut-on en d´eduire ?
Exercice no2. Deux types de raisonnements utilis´es en math´ematiques.
Soient Pet Qdeux assertions.
1. On appelle contrapos´ee de P⇒Ql’assertion (non(Q)⇒non(P)). Montrer `a l’aide
d’une table de v´erit´e que
(P⇒Q)⇔(non(Q)⇒non(P)) .
Le raisonnement par contraposition consiste `a d´emontrer qu’une implication est vraie
en d´emontrant que sa contrapos´ee l’est.
2. Si on arrive `a montrer par une d´emonstration que ”non(P)⇒F” est vraie, que peut-
on en d´eduire ? ` A quel type de raisonnement math´ematique cela correspond-il ?
Exercice no3. Soit n≥1 un entier. On se donne n+ 1 r´eels x0,...,xnde [0; 1] v´erifiant
0≤x0≤...≤xn≤1. On d´esire montrer par l’absurde qu’au moins deux de ces r´eels sont
distants de moins de 1/n.
1. Ecrire `a l’aide des quantificateurs et des valeurs xi+1 −xila propri´et´e `a d´emontrer.
Puis en donner sa n´egation.
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2. R´ediger une d´emonstration par l’absurde de cette propri´et´e.
Exercice no4.
1. ´ Ecrire la table de v´erit´e de (Pet non(Q)). Donner une expression plus simple `a l’aide
du connecteur ⇒.
2. Comment montrer par l’absurde que P⇒Q?
Exercice no5. Lorsque cela a un sens, placer le connecteur ⇒ou ⇔(ou ⇐) entre les
phrases math´ematiques suivantes. Donner un contre-exemple lorsqu’une des deux implica-
tions est fausse.
(a) 0 ≤x≤y x2≤y2
(b) 0 ≤x≤y√x≤√y
(c) x≤y√x≤√y
(d) x≤y1
x≥1 y
Exercice no6. Soient P,Qet Rdes assertions. ´ Ecrire les tables de v´erit´e de [Pou (Q
et R)] et de [(Pou Q) et (Pou R)]. Que peut-on en d´eduire ?
Exercice no7. Un peu de fran¸cais.
1. Donner la n´egation de chacune des phrases suivantes.
(a) ≪Tous les ´etudiants de MT100 viennent en bus ou `a pied. ≫
(b) ≪Il existe un ´etudiant de MT100 qui aura une moyenne inf´erieure ou ´egale `a
14/20. ≫
2. Donner la contrapos´ee de chacune des phrases suivantes.
(a) ≪Si je suis ´etudiant `a l’UVSQ, alors je suis excellent en math´ematiques. ≫
(b) ≪Je prends un abonnement au th´eˆatre si le programme me plaˆıt et si le tarif est
raisonnable. ≫
Indication : On pourra d’abord traduire la phrase sous la forme d’une proposition
math´ematique `a l’aide des assertions suivantes : P ≪Le programme me plaˆıt ≫,
Q≪Le tarif est raisonnable ≫, R ≪Je prends un abonnement ≫.
(c) ≪J’aurai 20/20 de moyenne en MT100 si je travaille ou si je suis un g´enie. ≫
Quantificateurs.
Exercice no8. Soient Iun intervalle de Ret fune application d´efinie sur I`a valeurs
dans R.´ Ecrire `a l’aide d’une phrase les assertions suivantes.
(a) ∃C∈R,∀x∈I, f(x) = C
(b) ∀x∈I, (f(x) = 0 ⇒x= 0)
(c) ∀y∈R,∃x∈I, f(x) = y
(d) ∀x, y ∈I, (f(x) = f(y)⇒x=y)
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Exercice no9. Soit fune application d´efinie sur R`a valeurs dans R. Donner la n´egation
des assertions suivantes.
(a) ∀x∈R, f(x)≤1
(b) ∃x∈R+, f(x)<0
(c) ∀x, y ∈R,x < y ⇒f(x)< f(y) (Petite question : que cela signifie-t-il pour f?)
Exercice no10. Les assertions suivantes sont elles vraies ? Justifier votre r´eponse. Si
elles sont fausses, ´enoncer leur n´egation.
(a) ∃x∈N, x2>4 (b) ∀x∈N, x2>4
(c) ∀x∈R,(x=|x|ou x=−|x|) (d) (∀x∈R, x =|x|) ou (∀x∈R, x =−|x|)
(e) ∀x∈N,∃y∈N, y > x2(f) ∃y∈N,∀x∈N, y > x2
(g) ∃x∈N,∀y∈N, y > x2(h) ∀y∈N,∃x∈N, y > x2
Exercice no11. Soient fet gdeux fonctions d´efinies sur l’ensemble E`a valeurs dans F
(E, F ⊂R).
1. Donner une ´ecriture math´ematique, `a l’aide de quantificateurs, des phrases suivantes.
(a) La fonction fne s’annule jamais.
(b) Les fonctions fet gne sont pas ´egales.
(c) La fonction fest croissante sur E.
(d) La fonction gn’est pas strictement d´ecroissante sur E.
(e) La fonction fest born´ee.
(f) Le r´eel yappartenant `a Fn’a pas d’ant´ec´edent par f.
2. Que signifie la phrase suivante : ”∀x∈E, (f(x) = 0 ⇒x= 0)”. Donner des exemples
de fonctions fqui v´erifient cette propri´et´e.
Exercice no12.
1. (a) Dans cette question, a∈Ret L∈Rsont fix´es et fest une fonction d´efinie sur R`a
valeurs r´eelles. Rappeler la d´efinition de limx→af(x) = Lavec les quantificateurs
et ≪l’epsilon ≫. En d´eduire une assertion exprimant le fait que fne tend pas vers
Llorsque xtend vers a.
(b) Mˆeme question pour limx→+∞f(x) = +∞.
2. Soit fune fonction d´erivable sur un intervalle Ide R. On sait que si f′(x)>0 sur I,
alors fest strictement croissante sur I.´ Ecrire cette derni`ere phrase `a l’aide de quan-
tificateurs et du symbole ⇒. Donner la contrapos´ee de cette implication.
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