TD 1 :´Eléments de logique - Laboratoire de Mathématiques de

Enseignement MT100
Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines
Année 2016-2017
B. Groux
TD 1 : Éléments de logique
Tables de vérité.
Exercice no 1.
1. Rappeler les définitions de ”et”, ”ou”, ”non” en complétant la table de vérité suivante.
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P et Q
P ou Q
non P
2. L’implication (P ⇒ Q) est uniquement une notation pour l’assertion (Q ou non(P ))
et l’équivalence (P ⇔ Q) est une notation pour l’assertion (P ⇒ Q et Q ⇒ P ).
Compléter la table de vérité suivante.
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
non(P ) non(Q)
P ⇒Q
Q⇒P
P ⇔Q
3. Compléter la table de vérité suivante.
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ⇔Q
non(P ) non(Q)
non(P ) et non(Q)
non(P ) ou non(Q)
Que peut-on en déduire ?
Exercice no 2. Deux types de raisonnements utilisés en mathématiques.
Soient P et Q deux assertions.
1. On appelle contraposée de P ⇒ Q l’assertion (non(Q) ⇒ non(P )). Montrer à l’aide
d’une table de vérité que
(P ⇒ Q)
⇔
(non(Q) ⇒ non(P )) .
Le raisonnement par contraposition consiste à démontrer qu’une implication est vraie
en démontrant que sa contraposée l’est.
2. Si on arrive à montrer par une démonstration que ”non(P ) ⇒ F ” est vraie, que peuton en déduire ? À quel type de raisonnement mathématique cela correspond-il ?
Exercice no 3. Soit n ≥ 1 un entier. On se donne n + 1 réels x0 , . . . , xn de [0; 1] vérifiant
0 ≤ x0 ≤ . . . ≤ xn ≤ 1. On désire montrer par l’absurde qu’au moins deux de ces réels sont
distants de moins de 1/n.
1. Ecrire à l’aide des quantificateurs et des valeurs xi+1 − xi la propriété à démontrer.
Puis en donner sa négation.
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2. Rédiger une démonstration par l’absurde de cette propriété.
Exercice no 4.
1. Écrire la table de vérité de (P et non(Q)). Donner une expression plus simple à l’aide
du connecteur ⇒.
2. Comment montrer par l’absurde que P ⇒ Q ?
Exercice no 5. Lorsque cela a un sens, placer le connecteur ⇒ ou ⇔ (ou ⇐) entre les
phrases mathématiques suivantes. Donner un contre-exemple lorsqu’une des deux implications est fausse.
(a)
(b)
(c)
(d)
0≤x≤y
0≤x≤y
x≤y
x≤y
2
y2
√x ≤ √
√x ≤ √ y
x≤ y
1
1
≥
x
y
Exercice no 6. Soient P , Q et R des assertions. Écrire les tables de vérité de [P ou (Q
et R)] et de [(P ou Q) et (P ou R)]. Que peut-on en déduire ?
Exercice no 7. Un peu de français.
1. Donner la négation de chacune des phrases suivantes.
(a)
≪
(b)
≪
Tous les étudiants de MT100 viennent en bus ou à pied. ≫
Il existe un étudiant de MT100 qui aura une moyenne inférieure ou égale à
14/20. ≫
2. Donner la contraposée de chacune des phrases suivantes.
(a)
(b)
(c)
≪
Si je suis étudiant à l’UVSQ, alors je suis excellent en mathématiques. ≫
Je prends un abonnement au théâtre si le programme me plaı̂t et si le tarif est
raisonnable. ≫
Indication : On pourra d’abord traduire la phrase sous la forme d’une proposition
mathématique à l’aide des assertions suivantes : P ≪ Le programme me plaı̂t ≫,
Q ≪ Le tarif est raisonnable ≫, R ≪ Je prends un abonnement ≫.
≪
≪
J’aurai 20/20 de moyenne en MT100 si je travaille ou si je suis un génie. ≫
Quantificateurs.
Exercice no 8. Soient I un intervalle de R et f une application définie sur I à valeurs
dans R. Écrire à l’aide d’une phrase les assertions suivantes.
(a) ∃C ∈ R, ∀x ∈ I, f (x) = C
(b) ∀x ∈ I, (f (x) = 0 ⇒ x = 0)
(c) ∀y ∈ R, ∃x ∈ I, f (x) = y
(d) ∀x, y ∈ I, (f (x) = f (y) ⇒ x = y)
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Exercice no 9. Soit f une application définie sur R à valeurs dans R. Donner la négation
des assertions suivantes.
(a) ∀x ∈ R, f (x) ≤ 1
(b) ∃x ∈ R+ , f (x) < 0
(c) ∀x, y ∈ R, x < y ⇒ f (x) < f (y) (Petite question : que cela signifie-t-il pour f ?)
Exercice no 10. Les assertions suivantes sont elles vraies ? Justifier votre réponse. Si
elles sont fausses, énoncer leur négation.
(a) ∃x ∈ N, x2 > 4
(b) ∀x ∈ N, x2 > 4
(c) ∀x ∈ R, (x = |x| ou x = −|x|) (d) (∀x ∈ R, x = |x|) ou (∀x ∈ R, x = −|x|)
(e) ∀x ∈ N, ∃y ∈ N, y > x2
(f) ∃y ∈ N, ∀x ∈ N, y > x2
(g) ∃x ∈ N, ∀y ∈ N, y > x2
(h) ∀y ∈ N, ∃x ∈ N, y > x2
Exercice no 11. Soient f et g deux fonctions définies sur l’ensemble E à valeurs dans F
(E, F ⊂ R).
1. Donner une écriture mathématique, à l’aide de quantificateurs, des phrases suivantes.
(a) La fonction f ne s’annule jamais.
(b) Les fonctions f et g ne sont pas égales.
(c) La fonction f est croissante sur E.
(d) La fonction g n’est pas strictement décroissante sur E.
(e) La fonction f est bornée.
(f) Le réel y appartenant à F n’a pas d’antécédent par f .
2. Que signifie la phrase suivante : ”∀x ∈ E, (f (x) = 0 ⇒ x = 0)”. Donner des exemples
de fonctions f qui vérifient cette propriété.
Exercice no 12.
1. (a) Dans cette question, a ∈ R et L ∈ R sont fixés et f est une fonction définie sur R à
valeurs réelles. Rappeler la définition de limx→a f (x) = L avec les quantificateurs
et ≪ l’epsilon ≫. En déduire une assertion exprimant le fait que f ne tend pas vers
L lorsque x tend vers a.
(b) Même question pour limx→+∞ f (x) = +∞.
2. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R. On sait que si f ′ (x) > 0 sur I,
alors f est strictement croissante sur I. Écrire cette dernière phrase à l’aide de quantificateurs et du symbole ⇒. Donner la contraposée de cette implication.
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