Chapitre 5 : Les puissances I. Puissances entière d’un nombre relatif. 1) Définitions. Définition 1 : Pour tout nombre relatif « a » et pour tout entier positif « n » non nul : a n = a × a ×……… × a × a n facteurs En particulier : a 1 = a Et par convention : a 0 = 1 a n est une puissance de a. a n se lit « a exposant n ». Exemples : 7 2 (- 2 ) 3= (-2) × (-2) × (- 2) = - 8 = 7 × 7 = 49 ⎛ − 4⎞ 2 ⎛ − 4⎞ ⎛ − 4⎞ 16 ⎜ 5⎟ = ⎜ 5⎟ × ⎜ 5⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 25 0,33 = 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027 Définition 2 : Pour tout nombre relatif « a » non nul et pour tout entier positif « n », l’écriture « a l’inverse de « a n » : 1 a -n = n a L’inverse -n » désigne 1 d’un nombre a peut se noter a -1. a Exemples : 1 1 2 -1 = 1 = 2 2 6 -2 = 1 1 1 = = 2 6 × 6 36 6 (- 4) -3 = 1 (-4) -3 = 1 1 =(-4) × (-4) × (-4) 64 2) Signe d’une puissance. Pour tout nombre entier relatif « n » : • Si « a » est positif alors a n est positif. • Si « a » est négatif alors a n est positif lorsque l’exposant « n » est pair, négatif lorsque l’exposant « n » est impair. Exemples : Une puissance d’un nombre positif est positive quelque soit l’exposant ainsi 6 3 et 6 -15 sont des nombres positifs. Par contre si c’est une puissance d’un nombre négatif il y a deux cas : ( - 3 ) 4 est un nombre positif car l’exposant 4 est pair ( - 2) -5 est négatif car l’exposant – 5 est impair 3) Priorité opératoire et puissances. • Si dans un calcul sans parenthèse il y a des puissances, alors il faut effectuer les puissances avant toutes les autres opérations. • Si dans un calcul avec des parenthèses il y a des puissances, alors il faut d’abord effectuer les calculs entre parenthèses. Exemples : A = 12 – 7 3 ×5 B = 18 + ( 7 – 11) 2 C = 175 – 7 2+ 2 A = 12 - 343 × 5 B = 18 + ( -4 ) A = 12 – 1715 B = 18 + 16 C= A = - 1703 B = 34 C = 134 2 3 C = 175 – 49 + 8 126 +8 II. Cas particulier : les puissances de 10. 1) Définitions. « n » désigne un entier positif non nul. Les écritures 10 n et 10 -ndésignent des puissances de 10. • 10 n = 10 × 10 × ………… × 10 = 1 000…..0 n facteurs n zéros En particulier 10 1 = 10 et par convention 10 • 10 -n désigne l’inverse de 10 n : En particulier 10 -1 10 -n 0 1 10 = = 1. = n 0, 000….0 1 n zéros 1 1 = = = 0,1 1 10 10 Exemples : 10 5 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 10 8 = 100 000 000 1 1 1 = = = 0,00 001 5 10 × 10 × 10 × 10 × 10 100000 10 10 -5 = 10 -8 = 0,00 000 001 2) Règles de calculs avec les puissances de 10. Les lettres « m » et « p » désignent deux nombres entiers relatifs Produit de deux puissances de 10 Quotient de deux puissances de 10 Puissances de puissance de 10 10 m 10 m 10 p (10 × 10 = 10 m⎞ ⎠ p p = 10 m + p m - p = 10 m × p 10 4 × 10 5 = 10 4 + 5 = 10 9 10 5 × 10 -6 = 10 5 + (-6) = 10 -1 10 1 = 10 1 – ( -3) = 10 10 -3 (10 -1⎞⎠ 3 (10 -2⎞⎠ -5 1+3 = 10 (-1) × 3 = 10 -3 = 10 (-2) × (-5) = 10 10 3) Multiplier un nombre décimal par une puissance de 10. Soit « n » un entier positif non nul. • Multiplier un nombre décimal par 10 n revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite (on complète par des zéros si nécessaire). • Multiplier un nombre décimal par 10 -n revient à décaler la virgule de n rangs vers la gauche (on complète par des zéros si nécessaire). Remarque : multiplier par 10 -n revient à diviser par 10 Exemples : 208,641 × 10 2 = 20 864,1 n 37,1 × 10 -3 = 0,0 371 = 10 4 4) Ecrire en notation scientifique. Un nombre positif est écrit en notation scientifique quand il est écrit sous la forme a × 10 • « a » est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (exclu) Le nombre « a » n’a qu’un seul chiffre non nul avant la virgule. • « n » est un nombre entier relatif. Exemples : 7,45 × 10 3 est une écriture scientifique. 0,38 × 10 4 et 15,374 × 10 -5 ne sont pas des écritures scientifiques. L’écriture scientifique du nombre 6430 est 6,43 × 10 3. 5) Comparer deux nombres en écriture scientifique. Soient A et B deux nombres en écriture scientifique. A = a × 10 n et B = b × 10 m • Si n < m alors A < B Si n > m alors A > B • Si n = m et a < b alors A < B Si n = m et a > b alors A > B Exemples : ( Conseil : vérifier que les nombres proposés sont donnés en écriture scientifique.) A = 1,7 × 10 3 < B = 2,5 × 10 -2 car l’exposant 3 est inférieur à l’exposant – 2. C = 1,24 × 10 4 < D = 3,1 × 10 4 car l’exposant est le même pour les deux écriture scientifique et 1,24 < 3,1 n où :