Chapitre 5 : Les puissances

Chapitre 5 : Les puissances
I. Puissances entière d’un nombre relatif.
1) Définitions.
Définition 1 :
Pour tout nombre relatif « a » et pour tout entier positif « n » non nul :
a n = a × a ×……… × a × a
n facteurs
En particulier : a 1 = a
Et par convention : a 0 = 1
a n est une puissance de a. a n se lit « a exposant n ».
Exemples :
7 2 = 7 × 7 = 49 (- 2 ) 3= (-2) × (-2) × (- 2) = - 8 0,33 = 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027 ⎠
⎟
⎞
⎝
⎜
⎛− 4
5
2
= ⎠
⎟
⎞
⎝
⎜
⎛− 4
5 × ⎠
⎟
⎞
⎝
⎜
⎛− 4
5 = - 16
25
Définition 2 :
Pour tout nombre relatif « a » non nul et pour tout entier positif « n », l’écriture « a -n » désigne
l’inverse de « a n » :
a -n = 1
a n
L’inverse 1
a d’un nombre a peut se noter a -1.
Exemples :
2 -1 = 1
2 1 = 1
2 6
-2 = 1
6 2 = 1
6 × 6 = 1 36 (- 4)
-3 = 1
(-4) -3 = 1
(-4) × (-4) × (-4) = - 1 64
2) Signe d’une puissance.
Pour tout nombre entier relatif « n » :
• Si « a » est positif alors a n est positif.
• Si « a » est négatif alors a n est positif lorsque l’exposant « n » est pair,
négatif lorsque l’exposant « n » est impair.
Exemples :
Une puissance d’un nombre positif est positive quelque soit l’exposant ainsi 6 3 et 6 -15 sont des nombres
positifs. Par contre si c’est une puissance d’un nombre négatif il y a deux cas :
( - 3 ) 4 est un nombre positif car l’exposant 4 est pair ( - 2) -5 est négatif car l’exposant – 5 est impair
3) Priorité opératoire et puissances.
• Si dans un calcul sans parenthèse il y a des puissances, alors il faut effectuer les puissances
avant toutes les autres opérations.
• Si dans un calcul avec des parenthèses il y a des puissances, alors il faut d’abord effectuer les
calculs entre parenthèses.
Exemples :
A = 12 – 7 3 × 5
A = 12 - 343 × 5
A = 12 – 1715
A = - 1703
B = 18 + ( 7 – 11) 2
B = 18 + ( -4 ) 2
B = 18 + 16
B = 34
C = 175 – 7 2+ 2 3
C = 175 – 49 + 8
C = 126 + 8
C = 134

II. Cas particulier : les puissances de 10.
1) Définitions.
« n » désigne un entier positif non nul. Les écritures 10 n et 10 -ndésignent des puissances de 10.
• 10 n = 10 × 10 × ………… × 10 = 1 000…..0
En particulier 10 1 = 10 et par convention 10 0 = 1.
• 10 -n désigne l’inverse de 10 n : 10 -n = 1
10 n = 0, 000….0 1
En particulier 10 -1 = 1
10 1 = 1
10 = 0,1
n facteurs n
z
éros
n
z
éros
Exemples :
10 5 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000
10 8 = 100 000 000
10 -5 = 1
10 5 = 1
10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1 100000 = 0,00 001
10 -8 = 0,00 000 001
2) Règles de calculs avec les puissances de 10.
Les lettres « m » et « p » désignent deux nombres entiers relatifs
Produit de deux puissances de 10 10 m × 10 p = 10 m + p10 4 × 10 5 = 10 4 + 5 = 10 9
10 5 × 10 -6 = 10 5 + (-6) = 10 -1
Quotient de deux puissances de 10 10 m
10 p = 10 m - p10 1
10 -3 = 10 1 – ( -3) = 10 1 + 3 = 10 4
Puissances de puissance de 10 ⎠
⎞
(10 m p = 10 m × p⎠
⎞
(10 -1 3 = 10 (-1) × 3 = 10 -3
⎠
⎞
(10 -2 -5 = 10 (-2) × (-5) = 10 10
3) Multiplier un nombre décimal par une puissance de 10.
Soit « n » un entier positif non nul.
• Multiplier un nombre décimal par 10 n revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite
(on complète par des zéros si nécessaire).
• Multiplier un nombre décimal par 10 -n revient à décaler la virgule de n rangs vers la gauche
(on complète par des zéros si nécessaire).
Remarque : multiplier par 10 -n revient à diviser par 10 n
Exemples :
208,641 × 10 2 = 20 864,1 37,1 × 10 -3 = 0,0 371

4) Ecrire en notation scientifique.
Un nombre positif est écrit en notation scientifique quand il est écrit sous la forme a × 10 n où :
• « a » est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (exclu)
Le nombre « a » n’a qu’un seul chiffre non nul avant la virgule.
• « n » est un nombre entier relatif.
Exemples :
7,45 × 10 3 est une écriture scientifique.
0,38 × 10 4 et 15,374 × 10 -5 ne sont pas des écritures scientifiques.
L’écriture scientifique du nombre 6430 est 6,43 × 10 3.
5) Comparer deux nombres en écriture scientifique.
Soient A et B deux nombres en écriture scientifique.
A = a × 10 n et B = b × 10 m
• Si n < m alors A < B
Si n > m alors A > B
• Si n = m et a < b alors A < B
Si n = m et a > b alors A > B
Exemples :
( Conseil : vérifier que les nombres proposés sont donnés en écriture scientifique.)
A = 1,7 × 10 3 < B = 2,5 × 10 -2 car l’exposant 3 est inférieur à l’exposant – 2.
C = 1,24 × 10 4 < D = 3,1 × 10 4
car l’exposant est le même pour les deux écriture scientifique et 1,24 < 3,1