Mathématiques Groupe d'Expérimentation Pédagogique Arithmétique : division euclidienne Sommaire : Présentation de la séquence …………………...…. page 2 Organisation de la séquence …………………...…..pages 3 à 6 Document élève (Niveau 3ème)…………………… .page 7 Document élève (Niveau Terminale)………… … .page 8 Commentaires et variantes de la séquence ………...page 9 Fichiers joints ……………………………...………page 10 GEP Mathématique Arithmétique : Division euclidienne Page 1 sur 10 Présentation Titre : Niveau(x) d’enseignement concerné(s) : 3ème et terminale Arithmétique : division euclidienne Objectifs : − Travailler sur les puissances et sur la division euclidienne − Faire des conjectures à partir d’observations de tableaux de valeurs − Valider ou invalider des conjectures − Rechercher des formules Scénario : − On s'intéresse aux restes de la division euclidienne de an par 11. − Dans un premier temps, en utilisant un dispositif de type « chariot multimédia », on étudie le cas "a=3" avec "n=0, 1, 2…10" successivement. − On utilise ensuite un tableur en salle multimédia pour étudier les restes de la division euclidienne de an par 11 pour a compris entre 1 et 25 et n variant de 0 à 35. − On termine avec la construction de tables de Pythagore. Apports des TICE : − Pour la première séance, l'utilisation d'un tableur et d'un dispositif de type "chariot multimédia" permet de rechercher collectivement une formule générale, puis de se demander pourquoi, ce qui induit la nécessité de démonstrations. − Pour la seconde séance, l’utilisation du tableur permet de manipuler un grand nombre de données. Place de la séquence dans la progression : − Après quelques rappels sur la division euclidienne. Prérequis : − Puissances d’un nombre − Division euclidienne Prolongements possibles : − Etudes de cas similaires avec d'autres nombres Cadre d’utilisation : − Exercices sur la division euclidienne Durée : − 2 séances d'une heure Modalités : Logiciel(s) utilisé(s) : − Une heure en salle non spécialisée mais avec − Tableur (StarOffice ou Excel) un dispositif de type "chariot multimédia" − Une heure en salle multimédia Utilisateur(s) : Niveau de maîtrise des logiciels requis : Le professeur ………………………………. Manipulations de base sur un tableur (voir page 9) Les élèves ………………………………….. Manipulations de base sur un tableur GEP Mathématique Arithmétique : Division euclidienne Page 2 sur 10 Organisation de la séquence Première séance (dans une salle munie d'un dispositif de type "chariot multimédia") Problème 1 : Recherche des restes de la division euclidienne de 3n par 11 (avec n = 0, 1, 2 ...). cas n=0, n=1, ... jusqu'à n=10. 1) A la main : Tableau présenté aux élèves n 3n reste de la division de 3n par 11 Tableau à obtenir n 3n reste de la division de 3n par 11 0 0 1 1 1 1 3 3 2 2 9 9 3 3 27 5 4 4 81 4 5 5 243 1 6 6 729 3 7 7 2187 9 8 8 6561 5 9 9 19683 4 10 10 59049 1 a) On remplit "à la main" collectivement le tableau précédent, les élèves notant sur leur cahier et le professeur au tableau : calcul itératif sur les puissances, la multiplication par 3 se fait "en ligne", bonne occasion de revoir les tables ; la division par 11 n'est pas compliquée, on peut en profiter pour faire du calcul mental en cherchant les multiples de 11 qui encadrent le nombre à diviser (sens de la division euclidienne). On tolére un brouillon pour que les élèves se souviennent des nombres et on accepte la calculatrice pour les grands nombres, premier pas vers l'utilisation de formules. Le professeur fait varier les plaisirs d'un calcul à l'autre. Exemples : pour 243, on a 20 × 11 = 220 et on ajoute 11, puis 11… pour 729, 60 × 11 = 660 et 70 × 11 = 770 , on ajoute 55 à 660, puis 11… pour 2187, 200 × 11 = 2200 et on enlève 11, et encore 11 … pour 6561, on peut démarrer à 6600… pour les deux derniers, on utilise la calculatrice, la nécessité de prendre la partie entière du quotient apparaît à ce moment. b) Observer la colonne des restes. Quelle conjecture peut-on faire? c) Quel est "probablement" le reste de la division euclidienne par 11 de 3200 , de 3421 , de 334 ? (encore des divisions euclidiennes : cette partie peut ne pas être traitée, car elle n’est pas indispensable pour la suite). GEP Mathématique Arithmétique : Division euclidienne Page 3 sur 10 Organisation de la séquence 2) Avec un tableur (dispositif de type « chariot multimédia ») : cas où n=0, n=1, ... n=35 (ou plus). 1.Trouver une formule. La première feuille ("Formule") du fichier joint est préparée dans ce but. a ♦1ère possibilité : r = a − q ×11 où q = partie entière( ) , les tableurs possèdent une 11 n fonction "partie entière" qui est notée ENT(), donc si 3 est en B8, dans la cellule C8 où va figurer le reste, il faut saisir la formule =B8-ENT(B8/11)*11 . On fait le tableau avec cette formule jusqu'à n = 35 (par recopie des cellules). Observations, remarques.... Problème : les valeurs de 3n augmentent vite, et dès que le nombre de chiffres dépasse la capacité d'affichage du tableur (à partir de 332 ), on obtient des résultats incorrects (pour cause d'arrondis). ♦2ème possibilité : le tableur dispose de la fonction MOD() qui donne directement le reste, ici r = mod(a;11) , on saisit donc dans la cellule D8 qui contiendra le reste =MOD(B8;11) . On fait le tableau avec cette formule jusqu'à n = 35 (par recopie des cellules). Observations, remarques.... Problème : c'est pire que dans le cas précédent, les ennuis commencent à 320 . ♦ 3ème possibilité : On peut faire vérifier par les élèves que pour les petites valeurs de n les restes se déduisent simplement les uns des autres. On démontre alors qu'un reste se calcule à partir du précédent. En effet, si 3 n = 11q + r (0 ≤ r < 11) alors 3 n +1 = 33q + 3r (0 ≤ 3r < 33) et si 3r = 11q'+r ' ( 0 ≤ r ' < 11) alors 3 n +1 = 11( 3q + q ' ) + r ' (0 ≤ r ' < 11) . Autrement dit, pour trouver le reste suivant, on multiplie par 3 le reste actuel et on fait la division euclidienne du résultat par 11. Le plus grand reste possible étant 10, les nombres manipulés ne dépassent jamais 30. Un calcul similaire peut être fait pour an quand a ≠ 3 . Dans la cellule E8, on saisit donc la valeur du premier reste : 1 . Dans la cellule E9, on saisit la formule =MOD(E8*3;11) . On fait le tableau avec cette formule jusqu'à n = 35 (par recopie des cellules). Observations, remarques.... Objectifs : remettre en cause la conjecture, se poser des questions sur des résultats qui semblent "bizarres", trouver quelle est la "bonne" formule à utiliser dans l'environnement disponible. 2. Démonstration (faite par le professeur au niveau 3ème , voir la page 8 pour le niveau Terminale) : Sur la base de ce qu'on observe pour les petites valeurs de n, on suppose que 35p = 11k +1 et on prouve que : 35(p+1) = 11k' +1 . On a : 35p+1 = 33k + 3 35p+2 = 99k + 9 = 11x9k + 9 35p+3 = 297k + 27 = 11x27k + 11x2 + 5 = 11(27k + 2) + 5 35p+4 = 3x11(27k + 2) + 15 = 11x3(27k + 2) + 11 + 4 = 11(81k + 7) + 4 35p+5 = 3x11(81k + 7) + 12 = 11(243k + 22) + 1 Il s'agit bien évidemment d'un raisonnement par récurrence (en collège, on n'insiste pas trop sur la question). Ici, il met en évidence les restes successifs et prouve la conjecture faite GEP Mathématique Arithmétique : Division euclidienne Page 4 sur 10 Organisation de la séquence précédemment. Seconde séance (en salle multimédia) Problème 2 : On recherche les restes de la division euclidienne de an par 11 pour a = 1, 2, 3, 4, ... successivement et n comme précédemment. Les élèves chargent le fichier diveuclid11.sdc (s'ils utilisent StarOffice) ou diveuclid11.xls (s'ils utilisent Excel) : le plus simple est de prévoir au préalable un raccourci sur le bureau de chaque station de travail. La première feuille est la feuille "Formule" précédemment utilisée par le professeur : en cas de besoin, les élèves peuvent refaire la recherche déjà faite. La deuxième feuille contient le début du tableau ci-dessous. Les élèves doivent le compléter en saisissant les contenus de la première ligne (à partir de C12), puis de la cellule C13, puis de la cellule C14 par recopie vers le bas, et là il y a problème : la plupart des élèves obtiennent 0 comme contenu. En effet, le tableur adapte la formule au moment de la recopie et en particulier, il remplace C10 par C11, or cette cellule est vide. Pour empêcher cette adaptation, il faut mettre un $ devant le 10 de C10 dans la cellule C13 (on dit que la référence à la ligne 10 est désormais une référence absolue). La recopie vers la droite ne pose pas de problème. Sur la question des références relatives et absolues : voir page 8 (et le fichier "références.doc"). Faire le tableau suivant (avec la "bonne" formule de calcul) : et observer les colonnes faire remarquer les différentes périodicités : 1, 2, 5, parfois 10). Quels sont les restes quand la périodicité est 1, quand elle est 2, quand elle est 5 ? ( "toujours les mêmes chaque fois !" ). On vérifie au passage que si a n'est pas multiple de 11, le reste de la division par 11 de a10 est toujours 1 et que la ligne 11 est la même que la ligne 1 (à une exception près), que la ligne 22 est la même que la ligne 11. Objectifs : favoriser l'observation d'un tableau contenant beaucoup de nombres, mise en évidence de "groupes" de restes. GEP Mathématique Arithmétique : Division euclidienne Page 5 sur 10 Organisation de la séquence Remarque : ce tableau pourra être imprimé et conservé par les élèves. Problème 3 : 1.Démontrer que si A = 11p + r et B = 11q + s, alors AB a le même reste dans la division par 11 que rs. 2.Faire les tables "Restes dans la division euclidienne par 11 du produit" d'abord avec 1, 3, 4, 5 et 9, puis avec tous les entiers de 1 à 10. Objectif : aller plus loin dans l'étude de ces restes. GEP Mathématique Arithmétique : Division euclidienne Page 6 sur 10 Document Élève Division euclidienne ( niveau 3ème) Problème 1 a) Remplir le tableau suivant : n 3n reste de la division de 3n par 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b) Observer la colonne des restes. Quelle conjecture peut-on faire ? c) Quel est "probablement" le reste de la division euclidienne par 11 de 3200 , de 3421 , de 334 ? Le reste de la division euclidienne par 11 de 3200 est … Le reste de la division euclidienne par 11 de 3421 est … Le reste de la division euclidienne par 11 de 334 est … Expliquer la méthode utilisée. Problème 2 1) Ouvrir le fichier diveuclid11.sdc ou diveuclid11.xls 2) La première feuille est la feuille "Formule" précédemment utilisée par le professeur : en cas de besoin, ne pas hésiter à la consulter . 3) La deuxième feuille est la feuille "avec a ". Compléter l’ensemble du tableau. Observer les colonnes. Quels sont les restes quand la périodicité est 1, quand elle est 2, quand elle est 5 ? 4) Imprimer le tableau afin de conserver une trace du travail et des observations effectuées. Problème 3 a) Démontrer que si A = 11p + r et B = 11q + s, alors AB a le même reste par 11 que rs. b) Faire les tables "Restes de la division par 11 du produit" d'abord avec 1, 3, 4, 5 et 9, puis avec tous les entiers de 1 à 10. (Feuille Table 1 et 2, puis Feuille Table 3 et 4) GEP Mathématique Arithmétique : Division euclidienne Page 7 sur 10 Document Élève Division euclidienne ( niveau terminale) Problème 1 a) Remplir le tableau suivant : n 3n reste de la division de 3n par 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b) Démontrer que pour tout entier naturel p, le nombre 35p –1 est un multiple de 11. (On pourra utiliser un raisonnement par récurrence.) En déduire que 35p+1 –3, 35p+2 – 9, 35p+3 –5, 35p+4 – 4 sont également des multiples de 11. c) Déterminer les restes de la division euclidienne par 11 des puissances de 3. d) Quel est "probablement" le reste de la division euclidienne par 11 de 3200 , de 3421 , de 334 ? Expliquer la méthode utilisée. e) Prolongement : Soit S n = ∑in=−01 3 i , où n S2. Démontrer que Sn est divisible par 11 si et seulement si 3n –1 est divisible par 11. En déduire les valeurs de n pour lesquelles Sn est divisible par 11. Problème 2 1) Ouvrir le fichier diveuclid11.sdc ou diveuclid11.xls 2) La première feuille est la feuille "Formule" précédemment utilisée par le professeur : en cas de besoin, ne pas hésiter à la consulter . 3) La deuxième feuille est la feuille "avec a ". Compléter l’ensemble du tableau. Observer les colonnes. Quels sont les restes quand la périodicité est 1, quand elle est 2, quand elle est 5 ? 4) Imprimer le tableau afin de conserver une trace du travail et des observations effectués. Problème 3 : a) Démontrer que si A = 11p + r et B = 11q + s, alors AB a le même reste par 11 que rs. b) Faire les tables "Restes par 11 du produit" d'abord avec 1, 3, 4, 5 et 9, puis avec tous les entiers de 1 à 10. (Feuille Tables 1 et 2, puis Feuille Tables 3 et 4) GEP Mathématique Arithmétique : Division euclidienne Page 8 sur 10 Commentaires En classe de 3ème certaines parties sont adaptables en fonction des réactions des élèves et du temps disponible. Par exemple, le (c) de la première partie n'est pas indispensable pour la suite et la troisième partie peut être traitée pendant l'heure en salle multimédia par les plus rapides, mais les tableaux peuvent aussi être faits "à la main" après la séance. En Terminale, les élèves font les démonstrations. Par précaution, le professeur devra s'assurer au préalable qu'il est au point sur la question des références relatives et absolues dans une feuille de calcul. Note technique sur le référencement des cellules Pour faire le tableau de la page 5 (seconde séance), il faut recopier des cellules vers le bas. Il convient alors de bien comprendre de quelle manière cela va se faire. Le tableur adapte la formule au moment de la recopie et en particulier, il remplace C10 par C11, or cette cellule est vide. Pour empêcher cette adaptation, il faut mettre un $ devant le 10 de C10 dans la cellule C13 (on dit que la référence à la ligne 10 est désormais une référence absolue). La recopie vers la droite ne pose pas ici de problème. On pourra lire avec intérêt les indications données dans le fichier "Références.doc" qui contient des extraits de l'aide de Microsoft Excel sur le référencement des cellules (c'est exactement pareil avec StarOffice). Bibliographie: Bulletin APMEP 434, Mai-Juin 2001, article "Arithmétique et tableur" (p335), extrait de la brochure "Enseigner l'arithmétique" de l'IREM de Poitiers. GEP Mathématique Arithmétique : Division euclidienne Page 9 sur 10 Fichiers joints Diveuclid11.sdc Diveuclid11.xls (StarOffice) (Excel) Puis_par_11.sdc et puis_par_11.xls contiennent les tableaux complets. Les classeurs diveuclid11.sdc (StarOffice) et diveuclid11.xls (Excel) sont identiques. Ils contiennent 4 feuilles de calcul : La première nommée "formule", reprend ce qui a été fait collectivement lors de la première séance ; les élèves peuvent le cas échéant le refaire rapidement, en s'aidant de leurs cahiers. La deuxième feuille nommée "avec a" contient l'ébauche du tableau du problème 2. Les deux feuilles suivantes, nommées "Tables 1 et 2" et "Tables 3 et 4" contiennent les ébauches des tableaux du problème 3. Références.doc contient des extraits de l'aide de Microsoft Excel concernant le référencement des cellules du tableur. GEP Mathématique Arithmétique : Division euclidienne Page 10 sur 10