Division euclidienne

Mathématiques
Groupe d'Expérimentation
Pédagogique
GEP Mathématique Arithmétique : Division euclidienne Page 1 sur 10
Sommaire :
Présentation de la séquence …………………...…. page 2
Organisation de la séquence …………………...…..pages 3 à 6
Document élève (Niveau 3ème)…………………… .page 7
Document élève (Niveau Terminale)………… … .page 8
Commentaires et variantes de la séquence ………...page 9
Fichiers joints ……………………………...………page 10
Arithmétique : division euclidienne

Présentation
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Titre :
Arithmétique : division euclidienne
Niveau(x) d’enseignement concerné(s) :
3ème et terminale
Objectifs :
− Travailler sur les puissances et sur la division euclidienne
− Faire des conjectures à partir d’observations de tableaux de valeurs
− Valider ou invalider des conjectures
− Rechercher des formules
Scénario :
− On s'intéresse aux restes de la division euclidienne de an par 11.
− Dans un premier temps, en utilisant un dispositif de type « chariot multimédia », on étudie le cas
"a=3" avec "n=0, 1, 2…10" successivement.
− On utilise ensuite un tableur en salle multimédia pour étudier les restes de la division euclidienne
de an par 11 pour a compris entre 1 et 25 et n variant de 0 à 35.
− On termine avec la construction de tables de Pythagore.
Apports des TICE :
−
Pour la première séance, l'utilisation d'un tableur et d'un dispositif de type "chariot multimédia"
permet de rechercher collectivement une formule générale, puis de se demander pourquoi, ce qui induit
la nécessité de démonstrations.
− Pour la seconde séance, l’utilisation du tableur permet de manipuler un grand nombre de données.
Place de la séquence dans la progression :
− Après quelques rappels sur la division euclidienne.
Prérequis :
− Puissances d’un nombre
− Division euclidienne
Prolongements possibles :
− Etudes de cas similaires avec d'autres
nombres
Cadre d’utilisation :
− Exercices sur la division euclidienne Durée : − 2 séances d'une heure
Modalités :
− Une heure en salle non spécialisée mais avec
un dispositif de type "chariot multimédia"
− Une heure en salle multimédia
Logiciel(s) utilisé(s) :
− Tableur (StarOffice ou Excel)
Utilisateur(s) : Niveau de maîtrise des logiciels requis :
Le professeur ………………………………. Manipulations de base sur un tableur (voir page 9)
Les élèves ………………………………….. Manipulations de base sur un tableur

Organisation de la séquence
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Première séance (dans une salle munie d'un dispositif de type "chariot multimédia")
Problème 1 : Recherche des restes de la division euclidienne de 3n par 11 (avec n = 0, 1, 2 ...).
1) A la main : cas n=0, n=1, ... jusqu'à n=10.
Tableau présenté aux élèves Tableau à obtenir
n 3n reste de la
division de
3n par 11
n 3n
reste de la
division de
3n par 11
0
0 1 1
1
1 3 3
2
2 9 9
3
3 27 5
4
4 81 4
5
5 243 1
6
6 729 3
7
7 2187 9
8
8 6561 5
9
9 19683 4
10
10 59049 1
a) On remplit "à la main" collectivement le tableau précédent, les élèves notant sur leur cahier et le
professeur au tableau :
calcul itératif sur les puissances, la multiplication par 3 se fait "en ligne", bonne occasion de revoir les
tables ; la division par 11 n'est pas compliquée, on peut en profiter pour faire du calcul mental en
cherchant les multiples de 11 qui encadrent le nombre à diviser (sens de la division euclidienne). On
tolére un brouillon pour que les élèves se souviennent des nombres et on accepte la calculatrice pour les
grands nombres, premier pas vers l'utilisation de formules. Le professeur fait varier les plaisirs d'un calcul
à l'autre.
Exemples : pour 243, on a 2201120
=
×
et on ajoute 11, puis 11…
pour 729, 6601160
=
×
et 7701170
=
×
, on ajoute 55 à 660, puis 11…
pour 2187, 220011200
=
×
et on enlève 11, et encore 11 …
pour 6561, on peut démarrer à 6600…
pour les deux derniers, on utilise la calculatrice, la nécessité de prendre la partie entière du
quotient apparaît à ce moment.
b) Observer la colonne des restes. Quelle conjecture peut-on faire?
c) Quel est "probablement" le reste de la division euclidienne par 11 de 3200, de 3421, de 334 ?
(encore des divisions euclidiennes : cette partie peut ne pas être traitée, car elle n’est pas
indispensable pour la suite).

Organisation de la séquence
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2) Avec un tableur (dispositif de type « chariot multimédia ») : cas où n=0, n=1, ... n=35 (ou plus).
1.Trouver une formule.
La première feuille ("Formule") du fichier joint est préparée dans ce but.
♦1ère possibilité :
11
×
−
=
q
a
r
où )
11
(a entièrepartieq=, les tableurs possèdent une
fonction "partie entière" qui est notée ENT(), donc si 3
n est en B8, dans la cellule C8 où va
figurer le reste, il faut saisir la formule =B8-ENT(B8/11)*11 .
On fait le tableau avec cette formule jusqu'à n = 35 (par recopie des cellules).
Observations, remarques....
Problème : les valeurs de 3
n augmentent vite, et dès que le nombre de chiffres dépasse la
capacité d'affichage du tableur (à partir de 3
32 ), on obtient des résultats incorrects (pour
cause d'arrondis).
♦2ème possibilité : le tableur dispose de la fonction MOD() qui donne directement le reste, ici
)
11
;
mod(
a
r
=
, on saisit donc dans la cellule D8 qui contiendra le reste =MOD(B8;11) .
On fait le tableau avec cette formule jusqu'à n = 35 (par recopie des cellules).
Observations, remarques....
Problème : c'est pire que dans le cas précédent, les ennuis commencent à 320 .
♦ 3ème possibilité : On peut faire vérifier par les élèves que pour les petites valeurs de n les
restes se déduisent simplement les uns des autres.
On démontre alors qu'un reste se calcule à partir du précédent.
En effet, si )110(113 <≤+= rrq
n alors )3330(3333 1<≤+= +rrq n
et si )11'0(')'3(113)11'0(''113 1<≤++=<≤+= +rrqqalorsrrqrn.
Autrement dit, pour trouver le reste suivant, on multiplie par 3 le reste actuel et on fait la
division euclidienne du résultat par 11.
Le plus grand reste possible étant 10, les nombres manipulés ne dépassent jamais 30.
Un calcul similaire peut être fait pour an quand 3
≠
a .
Dans la cellule E8, on saisit donc la valeur du premier reste : 1 .
Dans la cellule E9, on saisit la formule =MOD(E8*3;11) .
On fait le tableau avec cette formule jusqu'à n = 35 (par recopie des cellules).
Observations, remarques....
Objectifs : remettre en cause la conjecture, se poser des questions sur des résultats qui
semblent "bizarres", trouver quelle est la "bonne" formule à utiliser dans l'environnement
disponible.
2. Démonstration (faite par le professeur au niveau 3
ème , voir la page 8 pour le niveau
Terminale) :
Sur la base de ce qu'on observe pour les petites valeurs de n, on suppose que 35p = 11k +1 et
on prouve que : 35(p+1) = 11k' +1 .
On a : 35p+1 = 33k + 3
35p+2 = 99k + 9 = 11x9k + 9
35p+3 = 297k + 27 = 11x27k + 11x2 + 5 = 11(27k + 2) + 5
35p+4 = 3x11(27k + 2) + 15 = 11x3(27k + 2) + 11 + 4 = 11(81k + 7) + 4
35p+5 = 3x11(81k + 7) + 12 = 11(243k + 22) + 1
Il s'agit bien évidemment d'un raisonnement par récurrence (en collège, on n'insiste pas
trop sur la question). Ici, il met en évidence les restes successifs et prouve la conjecture faite

Organisation de la séquence
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précédemment.
Seconde séance (en salle multimédia)
Problème 2 : On recherche les restes de la division euclidienne de an par 11 pour a = 1, 2, 3, 4, ...
successivement et n comme précédemment.
Les élèves chargent le fichier diveuclid11.sdc (s'ils utilisent StarOffice) ou diveuclid11.xls (s'ils
utilisent Excel) : le plus simple est de prévoir au préalable un raccourci sur le bureau de chaque station
de travail.
La première feuille est la feuille "Formule" précédemment utilisée par le professeur : en cas de
besoin, les élèves peuvent refaire la recherche déjà faite.
La deuxième feuille contient le début du tableau ci-dessous. Les élèves doivent le compléter en
saisissant les contenus de la première ligne (à partir de C12), puis de la cellule C13, puis de la cellule
C14 par recopie vers le bas, et là il y a problème : la plupart des élèves obtiennent 0 comme contenu.
En effet, le tableur adapte la formule au moment de la recopie et en particulier, il remplace C10 par
C11, or cette cellule est vide. Pour empêcher cette adaptation, il faut mettre un $ devant le 10 de C10
dans la cellule C13 (on dit que la référence à la ligne 10 est désormais une référence absolue).
La recopie vers la droite ne pose pas de problème.
Sur la question des références relatives et absolues : voir page 8 (et le fichier "références.doc").
Faire le tableau suivant (avec la "bonne" formule de calcul) :
et observer les colonnes faire remarquer les différentes périodicités : 1, 2, 5, parfois 10).
Quels sont les restes quand la périodicité est 1, quand elle est 2, quand elle est 5 ? ( "toujours les
mêmes chaque fois !" ).
On vérifie au passage que si a n'est pas multiple de 11, le reste de la division par 11 de a10 est
toujours 1 et que la ligne 11 est la même que la ligne 1 (à une exception près), que la ligne 22 est
la même que la ligne 11.
Objectifs : favoriser l'observation d'un tableau contenant beaucoup de nombres,
mise en évidence de "groupes" de restes.