Mathématiques Avancées, Licence 3`eme année Sciences

Math´ematiques Avanc´ees, Licence 3`eme ann´ee
Sciences ´ Economiques
Denis Pennequin (p[email protected])
Version du 28 mars 2017

Table des Mati`eres
1 Logique. 5
1.1 Cours. ................................. 5
1.1.1 Assertions............................ 5
1.1.2 Op´erateurs de base : et, ou, non. . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Implication........................... 6
1.1.4 ´ Equivalence........................... 7
1.2 Un exemple de raisonnement : d´emonstrations de la transitivit´e
del’implication............................. 7
1.2.1 D´emonstration par table de v´erit´e. . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 D´emonstration en se ramenant aux op´erateurs de base. . . 7
1.3 Exercices. ............................... 8
2 Rappels et compl´ements sur la trigonom´etrie et les nombres com-
plexes. 11
2.1 Trigonom´etrie.............................. 11
2.1.1 Le cercle trigonom´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Fonctions sin et cos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Rappels sur les nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Introduction. Forme alg´ebrique. . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 La question de la relation d’ordre sur C. .......... 14
2.2.3 Forme trigonom´etrique, forme polaire. . . . . . . . . . . . 15
2.3 Nombres complexes et ´equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 ´ Equations du second degr´e `a coefficients r´eels. . . . . . . . 16
2.3.2 ´ Equations du second degr´e `a coefficients complexes. . . . . 16
2.3.3 ´ Equations Zn=z0....................... 17
2.3.4 Abaissement de l’ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Exercices. ............................... 19
3 R´evisions sur les matrices. 20
3.1 Calculsbasiques. ........................... 20
3.1.1 Calculs de sommes et de produits. . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2 Calculs de d´eterminants d’ordre 2 et 3. . . . . . . . . . . . 20
3.1.3 Calculs de puissances dans les cas ´el´ementaires. . . . . . . 20
3.1.4 Exponentielle de matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2

3.2 R´eduction des matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 Valeurs propres, vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Cas diagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.3 Cas non diagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Exercices................................ 24
4 Dynamique en temps discret. 27
4.1 Syst`emes lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1 R´ecurrence d’ordre 1 en dimension 1 sans second membre. 27
4.1.2 R´ecurrence d’ordre pen dimension 1. . . . . . . . . . . . . 28
4.1.3 Syst`emes lin´eaires autonomes. . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Syst`emes non lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Exercices. ............................... 30
5 Dynamique en temps continu. 34
5.1 Syst`emes lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.1 ´ Equations du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.2 ´ Equations d’ordre p`a coefficients constants. . . . . . . . . 35
5.1.3 Syst`emes lin´eaires `a coefficients constants. . . . . . . . . . 36
5.2 Syst`emes non lin´eaires autonomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Analogie discret continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.4 Exercices. ............................... 37
6 Optimisation statique. 40
6.1 Optimisation sans contrainte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.1.1 Le cas n=1. ......................... 40
6.1.2 Le cas nquelconque. ..................... 41
6.1.3 Le cas particulier n=2. ................... 41
6.2 Optimisation avec contraintes d’´egalit´es et d’in´egalit´es. . . . . . . 41
6.3 Optimisation dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7 Quelques sujets des ann´ees pr´ec´edentes. 42
7.1 ´ Enonc´edemai2015. ......................... 42
7.2 Corrig´e de mai 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3 ´ Enonc´edejuin2015. ......................... 46
7.4 ´ Enonc´edemai2016. ......................... 47
7.5 Contenu du mini formulaire de trigonom´etrie. . . . . . . . . . . . 48
3

Avertissement : ce polycopi´e est `a l’´etat parcellaire et sera au fur et `a
mesure compl´et´e et mis `a jour. La finalit´e de cet enseignement est l’introduction
des syst`emes dynamiques. Leur ´etude n´ecessite des r´evisions et compl´ements
sur les matrices, nombres complexes que nous ferons. Nous commencerons par
une r´evision de la logique math´ematique. Enfin, selon le temps qu’il restera,
nous aborderons l’optimisation sans contraintes, avec contraintes, l’optimisation
dynamique.
4

Chapitre 1
Logique.
1.1 Cours.
En cours de r´edaction.
1.1.1 Assertions.
1.1.2 Op´erateurs de base : et, ou, non.
Les trois op´erateurs de bases sont le et (∧), le ou (∨) et le non (¬). Voici les
tables de v´erit´e les d´efinissant :
P Q P ∧Q P ∨Q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
et
P¬P
V F
F V
Nous ´ecrirons P≡Qsi les deux propositions ont la mˆeme valeur de v´erit´e. Les
op´erateurs et et ou sont commutatifs et associatifs. La commutativit´e du ou
signifie que :
P∨Q≡Q∨P
(et propri´et´e analogue avec ∧) ce qui signifie que l’on peut effectuer l’op´eration
dans l’ordre souhait´e, l’associativit´e est la propri´et´e suivante, qui dispense de
parenth´eser :
P∨Q≡Q∨P, (P∨Q)∨R≡P∨(Q∨R)
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