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Activité 3 : Etudier le lien entre variations et signe de la dérivée
Sur géogebra 5 ( en ligne : www.geogebra.org), ouvrez une fenêtre graphique et une
fenêtre algèbre.
Exercice 1 :
partie A
1. Rappeler le lien entre nombre dérivé en a d'une fonction f et l'équation de la
tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
2. Tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction f définie par :
3
f ( x)= x −3 x+1. Par lecture graphique, dresser le tableau de variations de la
fonction f sur ℝ .
x
-2
2
Votre hypothèse est-elle confirmée ?
Exercice 2 :
Comment déterminer, sans logiciel, le sens de variations de la fonction f , définie sur
1
l'intervalle [−3 ; 6] par f ( x)= x 3− x2 −4 x+1 ?
4
Variations
de f
3. a) Créer un curseur a dont les valeurs sont comprises entre -2 et 2 avec un pas de
0,1 et placer le point A d'abscisse a sur la courbe.
b) Créer la tangente T à la courbe passant pas le point A et demander à géogebra
d'en donner la pente.
(cliquer sur
a
puis sur pente.)
c) Remplir le tableau de valeurs suivant :
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
f ' ( a)
Quel lien pouvez-vous faire entre le sens de variation d'une fonction f sur un intervalle et
le signe du nombre dérivé f ' (a) ?
Bilan :
Propriété 1 (admise) :Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
La fonction f est croissante sur I ⇔ f ' (x)..... 0 pour tout x de I.
Partie B
Nous allons, toujours grâce à géogebra, confirmer votre première conjecture.
1. Ouvrir une deuxième fenêtre graphique dans laquelle vous représenterez la
fonction dérivée f ' .
2. Compléter le tableau de signe suivant :
x
-2
2
Signe de
f ' ( x)
La fonction f est décroissante sur I ⇔ f ' (x)..... 0 pour tout x de I.
La fonction f est constante sur I ⇔ f ' (x)..... 0 pour tout x de I.
Propriété 2 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et
n'est pas une borne de I.
Si f admet un extremum (local) en α alors f ' ( α )=......
α un nombre réel qui
La propriété 2 ci-dessus n'est qu'une condition nécéssaire.
Exercice 3 :
1. Du signe de la dérivée vers la fonction
On donne le tableau de signes sur ℝ de la dérivée g' d'une fonction g :
x
2
6
−∞
Signe de
g'(x)
_
0
+
0
+∞
Parmi les 3 représentations ci-dessous, une seule représente la fonction dérivée f' de f sur
ℝ.
Déterminer la courbe associée à la fonction f ' .
_
On sait de plus que g(2)= -3 et g(6)=4. Tracer une courbe représentative C g possible pour
g:
1
0
1
Exercice 4 : exercice d'optimisation
On dispose une feuille de carton rectangulaire, de 80 cm de long et 50 cm de large, avec
laquelle on veut fabriquer une boîte ayant la forme d’un parallélépipède rectangle. Pour
cela, on découpe dans la feuille quatre carrés égaux, aux quatre coins (voir la figure), puis
on plie le carton suivant les segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. On appelle x la mesure
en cm de côté de chaque carré découpé.
2. de la fonction vers la dérivée
On a représenté ci-dessous la courbe représentative Γ d'une fonction f définie sur dans un
repère orthonormal. Γ Passe par les points A(0 ; 2) et C (−2 ;0 ) et la droite (AB) est
tangente en A à Γ . De plus Γ admet une tangente horizontale au point D 'abscisse -1
Quelle est la valeur de x qui rend le volume de la boîte maximal ?
Feuille d'exercices :
Exercice 1
On considère une fonction f dérivable sur I= [−3; 7 ] dont la courbe représentative est donnée cidessous.
Exercice 4
1. Déterminer les variations de f sur I, ainsi que le signe de sa dérivée.
2. Déterminer tous les extrema locaux de f .
Exercice 2 :
x
2.
1 +x
−1
1
Justifier que pour tout réel x de [−7 ;7] :
≤f ( x)≤ .
2
2
2. Démontrer que pour tout réel x≥0, on a : x3 ≥3 x−2 .
1. Soit la fonction f définie sur [−7 ;7] par : f ( x)=
Exercice 3
Les courbes (1) , (2) et (3) de la colonne de gauche représentent respectivement des
fonctions f, g et h.
Les courbes (A), (B) et (C) de la colonne de droite représentent leurs fonctions dérivées
Faire correspondre chaque fonction avec sa dérivée en justifiant.
Exercice 5
ABCD est un carré de côté 1. M est sur le segment [AB].
On place le point N tel que CN=AM sur la demi droite [BC) à l'extérieur du segment
[BC].
La droite (MN) coupe (DC) en P.
On pose AM=x avec 0⩽x ⩽1 .
Le but de l'exercice est de trouver M sur [AB] tel que la distance PC soit maximale.
Pour une première approche, on utilisera géogebra pour conjecturer la position du point
M.