Exercice type bac : Fonction exponentielle, convexité Exercice type bac : Fonction exponentielle, convexité La courbe Cf ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie et deux fois dérivable sur l’ensemble des nombres réels. Elle passe par les points A 1 ; 4e0,5 ,B(0 ; 5) et C(5 ; 0). Le point D(−3 ; 0) appartient à la tangente à Cf au point A. On note f ′ la fonction dérivée de f sur R. y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 D -5 -4 -3 -2 La courbe Cf ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie et deux fois dérivable sur l’ensemble des nombres réels. Elle passe par les points A 1 ; 4e0,5 ,B(0 ; 5) et C(5 ; 0). Le point D(−3 ; 0) appartient à la tangente à Cf au point A. On note f ′ la fonction dérivée de f sur R. y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A b Cf B -1 -10 -2 -3 -4 C 1 2 3 4 5 D 6 x -5 -4 -3 -2 A b -1 -10 -2 -3 -4 Partie A - Par lecture graphique Partie A - Par lecture graphique 1. Quel est le signe de f ′ (1) ? Justifier. 1. Quel est le signe de f ′ (1) ? Justifier. 2. Que semble représenter le point A pour la courbe Cf ? 3. (a) Préciser un domaine du plan dont l’aire est égale à I = Cf B C 1 2 3 4 5 6 x 2. Que semble représenter le point A pour la courbe Cf ? Z 3 f (x) dx unités 3. (a) Préciser un domaine du plan dont l’aire est égale à I = 0 Z 3 f (x) dx unités 0 d’aires. d’aires. (b) Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi : 06I 69 10 6 I 6 12 20 6 I 6 24 (b) Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi : 06I 69 10 6 I 6 12 20 6 I 6 24 Partie B - Par le calcul Partie B - Par le calcul On admet que pour tout réel x, f (x) = (−x + 5)e0,5x et f ′ (x) = (1, 5 − 0, 5x)e0,5x. On note f ′′ la fonction dérivée seconde de f sur R. On admet que pour tout réel x, f (x) = (−x + 5)e0,5x et f ′ (x) = (1, 5 − 0, 5x)e0,5x. On note f ′′ la fonction dérivée seconde de f sur R. 1. (a) Vérifier que, pour tout réel x, f ′′ (x) = 0, 25(−x + 1)e0,5x . 1. (a) Vérifier que, pour tout réel x, f ′′ (x) = 0, 25(−x + 1)e0,5x . (b) Résoudre l’équation f ′′ (x) = 0. Montrer que le point A est un point d’inflexion de la courbe Cf . (b) Résoudre l’équation f ′′ (x) = 0. Montrer que le point A est un point d’inflexion de la courbe Cf . (c) Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ? Justifier. (c) Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ? Justifier. 0,5x 2. Soit F la fonction définie, pour tout réel x, par F (x) = (−2x + 14)e . On admet que F est une primitive de f sur R. Z 3 f (x) dx. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie Calculer I = 0 au centième. 2. Soit F la fonction définie, pour tout réel x, par F (x) = (−2x + 14)e0,5x . On admet que F est une primitive de f sur R. Z 3 f (x) dx. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie Calculer I = 0 au centième.