DERIVATION I TAUX DE VARIATION f est une fonction définie sur

DERIVATION
I TAUX DE VARIATION
f est une fonction définie sur un intervalle I.
a et a + h sont deux réels distincts de I (h ≠ 0).
1° Définition :
On a appelle taux de variation de f entre a et a + h le nombre f(a + h) – f (a)
h
On dit aussi accroissement moyen de la fonction f entre a et a + h.
2° interprétation géométrique.
Soit C f la courbe représentative de f dans le repère (O;
→
i ;
→
j ).
Soit A le point de C f d'abscisse a et M le point de C f d'abscisse a + h
Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à : f (a + h) – f (a)
h
3° Exemples :
Soit h un réel non nul et f la fonction définie sur IR par : f (x) = – x2 + 4.
Calculer le taux de variation de f entre 1 et 1 + h
f (1 + h) – f (1)
h = – (1 + h)2 + 4 – (– 12 + 4) h = – 1 – 2 h – h2 + 4 – 3 h = – h2 – 2 h h = – h – 2.
h 1 0,1 0,0002 10–5 2 10–15
10–50
f (1 + h) – f (1)
h –3 –2,1 –2,0002 – 2,00001 – 2 –2
f (1 + h) – 3 – 2,79 – 2,99959996 – 3 – 3 – 3
f (x) = x + 1
x. Calculer le taux de variation de f entre 2 + h et 2
f (2 + h) – f (2)
h =
2 + h + 1
2 + h – 3 2
h =
( 3 + h) × 2 – 3 × (2 + h)
2 (2 + h)
h = 6 + 2 h – 6 – 3 h
2 h (2 + h) = – 1 2 (2 + h)
h 1 0,1 0,0002 10–5 2 10–15
10–50
f (2 + h) – f (2)
h – 0,1667 – 0,2301 – 0,2499750025 – 0,2499750006 – 0,25 – 0,25
f (2 + h) 1,3333 1,47619 1,499950005 1,4999975 1,5 1,5
II NOMBRE DERIVE DE f EN a
1° Exemples
Soit h un réel non nul et f la fonction définie sur IR par : f (x) = – x2 + 4.
f (1 + h) – f (1)
h = – h – 2.
h 1 0,1 0,0002 10–5 2 10–15
10–50
f (1 + h) – f (1)
h –3 –2,1 –2,0002 – 2,00001 – 2 –2
f (1 + h) – 3 – 2,79 – 2,99959996 – 3 – 3 – 3
f (x) = x + 1
x. Calculer le taux de variation de f entre 2 + h et 2
f (2 + h) – f (2)
h = – 1
2 (2 + h)
h 1 0,1 0,0002 10–5 2 10–15
10–50
f (2 + h) – f (2)
h – 0,1667 – 0,2301 – 0,2499750025 – 0,2499750006 – 0,25 – 0,25
f (2 + h) 1,3333 1,47619 1,499950005 1,4999975 1,5 1,5

2° Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I
Lorsque le rapport f (a + h) – f (a)
h tend vers un réel
lorsque h tend vers 0 on dit que ce réel est le nombre
dérivée en a. On le note f ' (a).
La fonction f est alors dérivable en a
3° Interprétation géométrique.
Si C f est la courbe représentative de f dans (O;
→
i ;
→
j )
Soit A le point de C f d'abscisse a et M le point de C f d'abscisse a + h
Lorsque h tend vers 0, la droite (AM) admet une position limite qui est la tangente en A à C f.
Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à : f (a + h) – f (a)
h donc le coefficient directeur de la tangente
à C f en a est f ' (a)
4° Tangente
Si f est une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I.
Si f est dérivable en a alors la courbe C f admet une tangente au point d'abscisse a.
Cette tangente a pour équation : y = f (a) + f ' (a) × (x – a)
III. FONCTIONS DERIVEES
1° Fonction dérivée
Si f est dérivable en tout point de l'intervalle I on dit que f est dérivable sur I.
A tout réel x la fonction dérivée associe le nombre dérivée de f en x. On la note f '.
2° Fonctions dérivées des fonctions usuelles
f Df Df ' f '
x k où k est une constante. IR IR x 0
x x IR IR x 1
x x
2 IR IR x 2 x
x xn IR IR x n xn+1
x 1
x IR* IR* x – 1
x
2
x x IR+ IR+
* x 1
2 x
3° Opérations sur les dérivées
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k est une constante.
f (x) f ' (x)
u + v
k u
u × v
1
u
u
v

IV. VARIATIONS DES FONCTIONS
1° Théorème.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I
f est croissante sur un intervalle I si et seulement si f ' est positive sur I
f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si f ' est négative sur I
f est constante sur un intervalle I si et seulement si f ' est nulle sur I
Le signe de la fonction dérivée donne donc les variations de la fonction.
2° Exemples