Chapitre 2 : Fonction dérivée TSTMG - Connaître la fonction dérivée de x xn et de x 1/x - Déterminer la fonction dérivée d’une fonction polynôme ou rationnelle. - Etudier les variations et les extremums d’une fonction à partir du signe de sa fonction dérivée. - Déterminer une équation de la tangente en un point d’une courbe représentative ; tracer cette tangente. I. Nombre dérivé en un point a Définition : Soit f une fonction dont la courbe admet une tangente au point d’abscisse a. Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente. Exemple : On considère la fonction f définie sur par f(x)=x², dont voici la courbe représentative. Sa tangente au point d’abscisse 1 a pour coefficient directeur 2. On dit que 2 est le nombre dérivé de f en 1, et on note : f’(1)=2 Proposition : Soit A un point de la représentation graphique d’une fonction f. La tangente en A(xa;ya) à la courbe C f a pour équation : y = f’(xa) (x-xa) + f(xa) Exemple : Quelle est l’équation de la tangente en 1 à la courbe représentative de f ? La tangente en 1 à la courbe de f a pour équation : y = f’(1) (x-1) + f(1) y = 2 (x-1) + 1 y = 2x-2 + 1 y = 2x - 1 II. Fonction dérivée sur un intervalle La représentation graphique de la courbe précédente admet des tangentes en chacun de ses points. On peut donc déterminer le nombre dérivé de f en chacun des points de . On dit alors que f est dérivable sur et on appelle f’ la fonction qui à tout nombre réel x associe son nombre dérivé f(x). Définition : Une fonction qui, à tout x d’un intervalle, associe le nombre dérivé de f en x s’appelle fonction dérivée de f et se note f’. Ce tableau indique les fonctions dérivées des fonctions les plus souvent rencontrées : f(x) k x x² x3 f’(x) xn n xn-1 pour tout x appartenant à 0 1 2x 3 x² 1 x 1 x2 \{0} III. Opérations sur les fonctions dérivables Notation : Dans ce formulaire, u désigne la fonction u(x), et v désigne la fonction v(x). Somme : (u+v)’ = u’+ v’ Produit : (uv)’ = u’v + uv’ Quotient : u u ' v uv ' ( )’ = v v2 Exemples : Soit f(x)=8x3-4x2+3x-7 et g ( x) Déterminer f’(x) et g’(x) : 2 f'(x)= 8x3x -4x2x+3 et g '( x) f'(x)=24x2-8x+3 et g '( x) g '( x) 3x 2 . 4 x2 3 4 x 2 3 x 2 2 x 4 x2 12 3 x 2 6 x 2 4 x 4 x 2 2 3 x 2 4 x 12 4 x 2 2 IV. Sens de variation d’une fonction dérivable, extrema Le signe de la dérivée d’une fonction permet de déterminer les variations de cette fonction. Théorème : Soit f une fonction dérivable. - Si f’ est nulle sur un intervalle, alors la fonction f est constante sur cet intervalle. - Si f’ est positive sur un intervalle, alors la fonction f est croissante sur cet intervalle. - Si f’ est négative sur un intervalle, alors la fonction f est décroissante sur cet intervalle. Exemple : On considère la fonction g définie sur [-10;10] par : a) Calcule la dérivée de la fonction g. b) Factorise l’expression g’(x). c) Détermine le tableau de variations de la fonction g. g(x)=x3-12x a) On calcule la dérivée g’ de la fonction g : g’(x)=3x2-12 b) On factorise g’(x). g’(x)=3(x2-4) g’(x)=3(x-2)(x+2) On établit le tableau de signe de g’(x) puis le tableau de variations de g. x20 x20 x2 x 2 x -10 (x-2) (x+2) g’(x) + -2 0 0 + - 2 0 0 880 16 g -880 + + + 10 -16