02-Fonction dérivée

Chapitre 2 :
Fonction dérivée
TSTMG
- Connaître la fonction dérivée de x
x
n et de x
1/x
- Déterminer la fonction dérivée d’une fonction polynôme ou rationnelle.
- Etudier les variations et les extremums d’une fonction à partir du signe de sa fonction dérivée.
- Déterminer une équation de la tangente en un point d’une courbe représentative ; tracer cette
tangente.
I. Nombre dérivé en un point a
Définition : Soit f une fonction dont la courbe admet une tangente au point d’abscisse
a. Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente.
Exemple :
On considère la fonction f définie sur
par f(x)=x², dont voici la courbe
représentative. Sa tangente au point d’abscisse 1 a pour coefficient directeur 2. On
dit que 2 est le nombre dérivé de f en 1, et on note : f’(1)=2
Proposition : Soit A un point de la représentation graphique d’une fonction f. La
tangente en A(xa;ya) à la courbe
f
C
a pour équation : y = f’(xa) (x-xa) + f(xa)
Exemple : Quelle est l’équation de la tangente en 1 à la courbe représentative de f?
La tangente en 1 à la courbe de f a pour équation : y = f’(1) (x-1) + f(1)
y = 2 (x-1) + 1
y = 2x-2 + 1
y = 2x - 1

II. Fonction dérivée sur un intervalle
La représentation graphique de la courbe précédente admet des tangentes en chacun
de ses points. On peut donc déterminer le nombre dérivé de f en chacun des points de
. On dit alors que f est dérivable sur
et on appelle f’ la fonction qui à tout
nombre réel x associe son nombre dérivé f(x).
Définition : Une fonction qui, à tout x d’un intervalle, associe le nombre dérivé de f en
x s’appelle fonction dérivée de f et se note f’.
Ce tableau indique les fonctions dérivées des fonctions les plus souvent rencontrées :
f(x)
f’(x)
pour tout x appartenant à
k
0
x
1
x²
2 x
x3
3 x²
xn
n xn-1
1
x
2
1
x
\{0}
III. Opérations sur les fonctions dérivables
Notation : Dans ce formulaire, u désigne la fonction u(x), et v désigne la fonction v(x).
Somme : (u+v)’ = u’+ v’
Produit : (uv)’ = u’v + uv’
Quotient : (
u
v
)’ =
2
' 'u v uv
v
Exemples : Soit f(x)=8x3-4x2+3x-7 et
2
3 2
( ) 4
x
g x x
.
Déterminer f’(x) et g’(x) :
f'(x)= 8x3x2-4x2x+3 et
2
2
3 4 3 2 2
'( ) 4
x x x
g x x
f'(x)=24x2-8x+3 et
2 2
2
2
12 3 6 4
'( )
4
x x x
g x
x
2
2
2
3 4 12
'( )
4
x x
g x
x

0
0
0
0
16
-16
880
IV. Sens de variation d’une fonction dérivable, extrema
Le signe de la dérivée d’une fonction permet de déterminer les variations de cette
fonction.
Théorème : Soit f une fonction dérivable.
- Si f’ est nulle sur un intervalle, alors la fonction f est constante sur cet intervalle.
- Si f’ est positive sur un intervalle, alors la fonction f est croissante sur cet
intervalle.
- Si f’ est négative sur un intervalle, alors la fonction f est décroissante sur cet
intervalle.
Exemple : On considère la fonction gdéfinie sur [-10;10]par : g(x)=x3-12x
a) Calcule la dérivée de la fonction g.
b) Factorise l’expression g’(x).
c) Détermine le tableau de variations de la fonction g.
a) On calcule la dérivée g’ de la fonction g:
g’(x)=3x2-12
b) On factorise g’(x).
g’(x)=3(x2-4)
g’(x)=3(x-2)(x+2)
On établit le tableau de signe de g’(x) puis le tableau de variations de g.
2 0
2
x
x
2 0
2
x
x
x
-10 -2 2 10
(x-2)
-
-
+
(x+2)
-
+
+
g’(x)
+
-
+
g
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