02-Fonction dérivée

Chapitre 2 :
Fonction dérivée
TSTMG
- Connaître la fonction dérivée de x  xn et de x  1/x
- Déterminer la fonction dérivée d’une fonction polynôme ou rationnelle.
- Etudier les variations et les extremums d’une fonction à partir du signe de sa fonction dérivée.
- Déterminer une équation de la tangente en un point d’une courbe représentative ; tracer cette
tangente.
I.
Nombre dérivé en un point a
Définition : Soit f une fonction dont la courbe admet une tangente au point d’abscisse
a. Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente.
Exemple :
On considère la fonction f définie sur  par f(x)=x², dont voici la courbe
représentative. Sa tangente au point d’abscisse 1 a pour coefficient directeur 2. On
dit que 2 est le nombre dérivé de f en 1, et on note : f’(1)=2
Proposition :
Soit A un point de la représentation graphique d’une fonction f. La
tangente en A(xa;ya) à la courbe C f a pour équation :
y = f’(xa) (x-xa) + f(xa)
Exemple : Quelle est l’équation de la tangente en 1 à la courbe représentative de f ?
La tangente en 1 à la courbe de f a pour équation : y = f’(1) (x-1) + f(1)
y = 2 (x-1) + 1
y = 2x-2 + 1
y = 2x - 1
II.
Fonction dérivée sur un intervalle
La représentation graphique de la courbe précédente admet des tangentes en chacun
de ses points. On peut donc déterminer le nombre dérivé de f en chacun des points de
 . On dit alors que f est dérivable sur  et on appelle f’ la fonction qui à tout
nombre réel x associe son nombre dérivé f(x).
Définition : Une fonction qui, à tout x d’un intervalle, associe le nombre dérivé de f en
x s’appelle fonction dérivée de f et se note f’.
Ce tableau indique les fonctions dérivées des fonctions les plus souvent rencontrées :
f(x)
k
x
x²
x3
f’(x)
xn
n xn-1
pour tout x appartenant à
0



1
2x
3 x²
1
x



1
x2
 \{0}
III. Opérations sur les fonctions dérivables
Notation : Dans ce formulaire, u désigne la fonction u(x), et v désigne la fonction v(x).
Somme :
(u+v)’ = u’+ v’
Produit :
(uv)’ = u’v + uv’
Quotient :
u
u ' v  uv '
( )’ =
v
v2
Exemples : Soit f(x)=8x3-4x2+3x-7
et
g ( x) 
Déterminer f’(x) et g’(x) :
2
f'(x)= 8x3x -4x2x+3
et
g '( x) 
f'(x)=24x2-8x+3
et
g '( x) 
g '( x) 
3x  2
.
4  x2
3  4  x 2    3 x  2  2 x 
4  x2
12  3 x 2  6 x 2  4 x
4  x 
2 2
3 x 2  4 x  12
4  x 
2 2
IV.
Sens de variation d’une fonction dérivable, extrema
Le signe de la dérivée d’une fonction permet de déterminer les variations de cette
fonction.
Théorème : Soit f une fonction dérivable.
- Si f’ est nulle sur un intervalle, alors la fonction f est constante sur cet intervalle.
- Si f’ est positive sur un intervalle, alors la fonction f est croissante sur cet
intervalle.
- Si f’ est négative sur un intervalle, alors la fonction f est décroissante sur cet
intervalle.
Exemple : On considère la fonction g définie sur [-10;10] par :
a) Calcule la dérivée de la fonction g.
b) Factorise l’expression g’(x).
c) Détermine le tableau de variations de la fonction g.
g(x)=x3-12x
a) On calcule la dérivée g’ de la fonction g :
g’(x)=3x2-12
b) On factorise g’(x).
g’(x)=3(x2-4)
g’(x)=3(x-2)(x+2)
On établit le tableau de signe de g’(x) puis le tableau de variations de g.
x20
x20
x2
x  2
x
-10
(x-2)
(x+2)
g’(x)
+
-2
0
0
+
-
2
0
0
880
16
g
-880
+
+
+
10
-16