Centres étrangers 2013. Enseignement spécifique

Centres étrangers 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant suivi l’enseignementdespécialité)
Une espèce d’oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d’un archipel.
Au début de l’année 2013, 20 millions d’oiseaux de cette espèce sont présents sur l’île A et 10 millions sur l’île B.
Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d’estimer que, compte tenu des naissances,
décès, et migrations entre les deux îles, on retrouve au débutdechaqueannéelesproportionssuivantes:
-surl’îleA:80%dunombred’oiseauxprésentssurl’îleAaudébutdel’annéeprécédente et 30%dunombre
d’oiseaux présents sur l’île B au début de l’année précédente;
-sur l’île B : 20%dunombred’oiseauxprésentssurl’îleAaudébutdel’annéeprécédente et 70%dunombre
d’oiseaux présents sur l’île B au début de l’année précédente.
Pour tout entier naturel n,onnotean(respectivement bn)lenombred’oiseaux(enmillions)présentssurl’îleA
(respectivement B) au début de l’année (2013 +n).
Partie A - Algorithmique et conjectures
On donne ci-contre un algorithme qui
doit afficher le nombre d’oiseaux vivant
sur chacune des deux iles, pour chaque
année comprise entre 2013 et une année
choisie par l’utilisateur.
Début de l’algorithme :
Lire n
Affecter à ala valeur 20
Affecter à bla valeur 10
Affecter à ila valeur 2013
Afficher i
Afficher a
Afficher b
Tant que i<nfaire
Affecter à cla valeur (0, 8a +0, 3b)
Affecter à bla valeur (0, 2a +0, 7b)
Affecter à ala valeur c
Fin du Tant que
Fin de l’algorithme
1) Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger.
2) On donne ci-dessous une copie d’écran des résultats obtenus après avoir corrigé l’algorithme précédent dans un
logiciel d’algorithmique, l’utilisateur ayant choisi l’année 2020.
⋆⋆⋆Algorithme lancé ⋆⋆⋆
En l’année 2013, aprend la valeur 20 et bprend la valeur 10
En l’année 2014, aprend la valeur 19 et bprend la valeur 11
En l’année 2015, aprend la valeur 18, 5 et bprend la valeur 11, 5
En l’année 2016, aprend la valeur 18, 25 et bprend la valeur 11, 75
En l’année 2017, aprend la valeur 18, 125 et bprend la valeur 11, 875
En l’année 2018, aprend la valeur 18, 042 5 et bprend la valeur 11, 937 5
En l’année 2019, aprend la valeur 18, 031 25 et bprend la valeur 11, 968 75
En l’année 2020, aprend la valeur 18, 015 625 et bprend la valeur 11, 984 375
⋆⋆⋆Algorithme terminé ⋆⋆⋆
Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant lesensdevariationetlaconvergencedessuites(an)
et (bn).
Partie B - Étude mathématique
On note Unla matrice colonne !an
bn".
1) Montrer que, pour tout entier naturel n,Un+1=MUn,oùMest une matrice carrée d’ordre 2que l’on
déterminera.
On admet alors que Un=MnU0pour tout entier naturel n!1.
2) Àl’aided’unraisonnementparrécurrence,justifierque,pour tout entier naturel n!1:
Mn=!0, 6 +0, 4 ×0, 5n0, 6 −0, 6 ×0, 5n
0, 4 −0, 4 ×0, 5n0, 4 +0, 6 ×0, 5n".
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matrice Mn.
3) Exprimer anen fonction de n,pourtoutentiernatureln!1.
4) Avec ce modèle, peut-o n dire qu’au bout d’un grand nombre d’années, le nombre d’oiseaux sur l’île A va
se stabiliser ? Si oui, préciser vers quelle valeur.
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Centres étrangers 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant suivi l’enseignementdespécialité)
Partie A - Algorithmique et conjectures
1) Algorithme corrigé.
Début de l’algorithme :
Lire n
Affecter à ala valeur 20
Affecter à bla valeur 10
Affecter à ila valeur 2013
Afficher i
Afficher a
Afficher b
Tant que i<nfaire
Affecter à cla valeur (0, 8a +0, 3b)
Affecter à bla valeur (0, 2a +0, 7b)
Affecter à ala valeur c
Affecter à ila valeur i+1
Afficher i
Afficher a
Afficher b
Fin du Tant que
Fin de l’algorithme
2) Il semble que la suite (an)soit décroissante et converge vers 18 et que la suite (bn)soit croissante et converge vers
12.
Partie B - Étude mathématique
1) Soit nun entier naturel.
Un+1=!an+1
bn+1"=!0, 8an+0, 3bn
0, 2an+0, 7bn"=!0, 8 0, 3
0, 2 0, 7 "! an bn"=MUn
où M=!0, 8 0, 3
0, 2 0, 7 ".
2) Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n!1:Mn=!0, 6 +0, 4 ×0, 5n0, 6 −0, 6 ×0, 5n
0, 4 −0, 4 ×0, 5n0, 4 +0, 6 ×0, 5n".
•!0, 6 +0, 4 ×0, 510, 6 −0, 6 ×0, 51
0, 4 −0, 4 ×0, 510, 4 +0, 6 ×0, 51"=!0, 8 0, 3
0, 2 0, 7 "=M1.Donc,l’égalitéàdémontrerestvraie
quand n=1.
•Soit n!1.SupposonsqueMn=!0, 6 +0, 4 ×0, 5n0, 6 −0, 6 ×0, 5n
0, 4 −0, 4 ×0, 5n0, 4 +0, 6 ×0, 5n"et montrons que
Mn+1=!0, 6 +0, 4 ×0, 5n+10, 6 −0, 6 ×0, 5n+1
0, 4 −0, 4 ×0, 5n+10, 4 +0, 6 ×0, 5n+1".
Mn+1=M×Mn
=!0, 8 0, 3
0, 2 0, 7 "! 0, 6 +0, 4 ×0, 5n0, 6 −0, 6 ×0, 5n 0, 4 −0, 4 ×0, 5n0, 4 +0, 6 ×0, 5n"(par hypothèse de récurrence)
=!0, 8 (0, 6 +0, 4 ×0, 5n)+0, 3 (0, 4 −0, 4 ×0, 5n)•
••
"
=!(0, 8 ×0, 6 +0, 3 ×0, 4)+(0, 8 ×0, 4 −0, 3 ×0, 4)×0, 5n•
••
"
=!0, 6 +0, 4 ×(0, 8 −0, 3)×0, 5n•
••
"=!0, 6 +0, 4 ×0, 5 ×0, 5n•
••
"
=!0, 6 +0, 4 ×0, 5n+1•
••
"
On a monté par récurrence que pour tout entier naturel n!1:Mn=!0, 6 +0, 4 ×0, 5n0, 6 −0, 6 ×0, 5n
0, 4 −0, 4 ×0, 5n0, 4 +0, 6 ×0, 5n".
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3) Soit n!1.
!an
•"=Mn!a0
b0"=!0, 6 +0, 4 ×0, 5n0, 6 −0, 6 ×0, 5n ••
"! 20
10 "
=!20(0, 6 +0, 4 ×0, 5n)+10(0, 6 −0, 6 ×0, 5n)
•"=!18 +2×0, 5n •"
Pour tout entier naturel n!1,an=18 +2×0, 5n.
4) Puisque −1<0,5<1,lim
n→+∞
0, 5n=0et donc lim
n→+∞
an=18 +2×0=18.
Au bout d’un grand nombre d’années, le nombre d’oiseaux sur l’île A va se stabiliser à environ 18 millions d’oiseaux.
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