Rochambeau 2013. Enseignement de Spécialité

Rochambeau 2013. Enseignement de Spécialité
EXERCICE 2 (5 points) (candidats ayant suivi l’enseignementdespécialité)
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Variable s : aest un entier naturel
best un entier naturel
cest un entier naturel
Initialisation : Affecter à cla valeur 0
Demander la valeur de a
Demander la valeur de b
Traite ment : Tant que a!b
Affecter à cla valeur c+1
Affecter à ala valeur a−b
Fin de Tant que
Sortie : Afficher c
Afficher a
1) Faire fonctionner cet algorithme avec a=13 et b=4en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
2) Que permet de calculer cet algorithme ?
Partie B
Àchaquelettredel’alphabet,onassocie,grâceautableauci-dessous, un nombre entier compris entre 0et 25.
A B C D E F G H I J K L M
012345678910 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
Étape 1 : Alalettrequel’onveutcoder,onassocielenombremcorrespondant dans le tableau.
Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9m +5par 26 et on le note p.
Étape 3 : Au nombre p,onassocielalettrecorrespondantedansletableau.
1) Coder la lettre U.
2) Modifier l’algorithme de la partie A pour qu’à une valeur de mentrée par l’utilisateur, il affiche la valeur de p,
calculée à l’aide du procédé de codage précédent.
Partie C
1) Trouver un nombre entier xtel que 9x ≡1[26].
2) Démontrer alors l’équivalence :
9m +5≡p[26]⇔m≡3p −15 [26].
3) Décoder alors la lettre B.
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

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EXERCICE 2
Partie A
1) 1 ère étape. a=13,b=4et c=0.Onadonca!b.
2ème étape. a=9,b=4et c=1.Onadonca!b.
3ème étape. a=5,b=4et c=2.Onadonca!b.
4ème étape. a=1,b=4et c=3.Onadonca<bet l’algorithme s’arrête.
L’algorithme affiche alors 3et 1.
2) La valeur finale de cest le « nombre de fois que brentre dans a»c’est-à-direlequotientqde la division
euclidienne de apar bou encore la partie entière de a
b.Lavaleurfinaledeaest la différence entre la valeur initiale
de aet qb.Lavaleurfinaledeaest donc le reste de la division euclidienne de la valeur initiale de apar b.
L’algorithme calcule le quotient et le reste de la division euclidienne de apar b.
Partie B
1) Ucorrespondaunombrem=20.Danscecas,
9m +5=9×20 +5=185 =7×26 +3,
avec 0"3<26.Doncp=3.Lenombre3correspond à la lettre D.
La lettre U est codée par la lettre D.
2) Algorithme modifié.
Variable s : mest un entier naturel
pest un entier naturel
cest un entier naturel
Initialisation : Affecter à cla valeur 0
Demander la valeur de m
Affecter à pla valeur de 9∗m+5
Traite ment : Tant que p!26
Affecter à pla valeur p−26
Fin de Tant que
Sortie : Afficher p
Partie C
1) 9×3=27 =1×26 +1.Donc9×3≡1[26].
x=3convient.
2) Soient met pdeux entiers naturel. Puisque 9×3≡1[26].
9m +5≡p[26]⇒3×(9m +5)≡3p [26]⇒1×m+15 ≡3p [26]⇒m≡3p −15 [26].
Réciproquement
m≡3p −15 [26]⇒9×m≡9×3p −9×15 [26]⇒9m ≡p−135 [26]⇒9m +5≡p−130 [26]
⇒9m +5≡p−5×26 [26]⇒9m +5≡p[26].
Finalement,
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Pour tous entiers naturels met p,m≡3p −15 [26]⇔9m +5≡p[26].
3) La lettre B correspond au nombre p=1.Cenombrecodelenombremtel que m≡3×1−15 [26]ou encore
m≡−12 [26]ou enfin m≡14 [26]avec 0"14 < 26.Lenombre14 correspond à la lettre O et donc
la lettre B code la lettre O.
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