Pondichéry 2015. Enseignement spécifique

Pondichéry 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Soit un cube ABCDEF GH d’arête 1.
Dans le repère !A;−−→ AB, −−→ AD, −→ AE",onconsidèrelespointsM,Net Pde coordonnées respectives M#1; 1; 3
4$,
N#0; 1
2;1
$,P#1; 0; −5
4$.
1) Placer M,Net Psur la figure donnée en annexe.
2) Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ MN et −−→ MP.
En déduire que les points M,Net Pne sont pas alignés.
3) On considère l’algorithme 1 donné en annexe.
a) Exécuter àlamaincet algorithme avec les coordonnées des points M,Net Pdonnées ci-dessus.
b) Aquoicorrespondlerésultataffichéparl’algorithme?Qu’endéduire pour le triangle MNP ?
4) On considère l’algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu’il teste et affiche si un triangle
MNP est rectangle et isocèle en M.
5) On considère le vecteur −→n(5 ; −8; 4)normal au plan (MNP).
a) Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).
b) On considère la droite ∆passant par Fet de vecteur directeur −→n.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆.
6) Soit Kle point d’intersection du plan (MNP)et de la droite ∆.
a) Démontrer que les coordonnées du point Ksont #4
7;24 35 ;23 35$.
b) On donne FK =%27
35.CalculerlevolumedutétraèdreMNPF.
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Annexe, Exercice 4 : Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
A
B
C
D
E
F
G
H
Algorithme 1 Algorithme 2 (à compléter)
Saisir xM,yM,zM,xN,yN,zN,xP,yP,zP
dprend la valeur xN−xM
eprend la valeur yN−yM
fprend la valeur zN−zM
gprend la valeur xP−xM
hprend la valeur yP−yM
iprend la valeur zP−zM
kprend la valeur d×g+e×h+f×i
Afficher k
Saisir xM,yM,zM,xN,yN,zN,xP,yP,zP
dprend la valeur xN−xM
eprend la valeur yN−yM
fprend la valeur zN−zM
gprend la valeur xP−xM
hprend la valeur yP−yM
iprend la valeur zP−zM
kprend la valeur d×g+e×h+f×i
Afficher k
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EXERCICE 4 : corrigé
1) Figure.
A
B
C
D
E
F
G
H
M
N
P
2) Le vecteur −−→ MN apourcoordonnées!−1,−1
2,1 4"et le vecteur −−→
MP apourcoordonnées(0,−1,−2).
S’il existe un réel ktel que −−→ MN =k−−→ MP,enanalysantlapremièrecoordonnée,ona−1=0×kce qui est impossible.
Donc, les vecteurs −−→ MN et −−→ MP ne sont pas colinéaires ou encore les points M,Net Pne sont pas alignés.
3) a) dprend la valeur −1,eprend la valeur −1
2,fprend la valeur 1 4,gprend la valeur 0,hprend la valeur −1et i
prend la valeur −2.
kprend la valeur (−1) ×0+!−1
2"×(−1) + 1 4×(−2) = 1 2−1 2=0.
L’algorithme affiche 0.
b) L’algorithme affiche le produit scalaire des vecteurs −−→ MN et −−→ MP.Ici,ceproduitscalaireestnuletdoncletriangle
MNP est rectangle en M.
4) Algorithme complété.
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Saisir xM,yM,zM,xN,yN,zN,xP,yP,zP
dprend la valeur xN−xM
eprend la valeur yN−yM
fprend la valeur zN−zM
gprend la valeur xP−xM
hprend la valeur yP−yM
iprend la valeur zP−zM
kprend la valeur d×g+e×h+f×i
afficher k
lprend la valeur #d2+e2+f2$−#g2+h2+i2$
afficher l
Si k=0et l=0,
afficher « le triangle MNP est rectangle et isocèle en M»
sinon
afficher « le triangle MNP n’est pas rectangle et isocèle en M»
Fin si
5) a) Le plan (MNP)est le plan passant par M!1,1,3
4"et de vecteur normal −→n(5,−8,4).Uneéquationcartésienne
du plan (MNP)est
5×(x−1) −8×(y−1) + 4 ×!z−3
4"=0,
ou encore
une équation cartésienne du plan (MNP)est 5x−8y+4z=0.
b) ∆est la droite passant par F(1,0,1) et de vecteur directeur −→n(5,−8,4).Unereprésentationparamétriquedela
droite ∆est donc
⎧
⎨
⎩
x=1+5t
y=−8t
z=1+4t
t∈R.
6) a) Soit Q(1 + 5t, −8t, 1+4t),t∈R,unpointde∆.
Q∈(MNP)⇔5(1 + 5t)−8(−8t)+4(1+4t)=0⇔105t+9=0⇔t=−9
105 ⇔t=−3 35.
Quand t=−3
35,onobtientlescoordonnéesdupointKàsavoir!20 35,24 35,23 35"ou encore !4 7,24 35,23 35".
b) [FK]est la hauteur du tétraèdre MNPF issue de F.D’autrepart,puisqueletriangleMNP est rectangle en M,
l’aire de ce triangle est A=MN ×MP
2.
MN =((−1)2+!−1
2"2
+!1
4"2
=)21
16 =√21 4
et
MP =*02+(−1)2+(−2)2=√5.
Le volume du tétraèdre MNPF est donc
V=1
3×A×FK =1 3×
√21
4×√5
2×)27 35 =1 2×3×4)3×7×5×3×9 5×7=3×3 2×3×4=3 8.
Le volume Vdu tétraèdre MNPF est V=3
8.
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