Pondichéry 2015. Enseignement spécifique

Pondichéry 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Soit un cube ABCDEF GH d’arête 1.
$
#
!
−−→ −−→ −→"
3
,
Dans le repère A ; AB, AD, AE , on considère les points M , N et P de coordonnées respectives M 1 ; 1 ;
4
$
$
#
#
5
1
; 1 ,P 1; 0; − .
N 0;
2
4
1) Placer M , N et P sur la figure donnée en annexe.
−−→ −−→
2) Déterminer les coordonnées des vecteurs M N et M P .
En déduire que les points M , N et P ne sont pas alignés.
3) On considère l’algorithme 1 donné en annexe.
a) Exécuter à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M , N et P données ci-dessus.
b) A quoi correspond le résultat affiché par l’algorithme ? Qu’en déduire pour le triangle M N P ?
4) On considère l’algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu’il teste et affiche si un triangle
M N P est rectangle et isocèle en M .
→
5) On considère le vecteur −
n (5 ; −8 ; 4) normal au plan (M N P ).
a) Déterminer une équation cartésienne du plan (M N P ).
→
b) On considère la droite ∆ passant par F et de vecteur directeur −
n.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆.
6) Soit K le point d’intersection du plan (M N P ) et de la droite ∆.
#
$
4 24 23
a) Démontrer que les coordonnées du point K sont
.
;
;
7 35 35
%
27
b) On donne F K =
. Calculer le volume du tétraèdre M N P F .
35
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1
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Annexe, Exercice 4 : Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
H
G
E
F
D
C
A
B
Algorithme 1
Algorithme 2 (à compléter)
Saisir xM , yM , zM , xN , yN , zN , xP , yP , zP
d prend la valeur xN − xM
e prend la valeur yN − yM
f prend la valeur zN − zM
g prend la valeur xP − xM
h prend la valeur yP − yM
i prend la valeur zP − zM
k prend la valeur d × g + e × h + f × i
Afficher k
Saisir xM , yM , zM , xN , yN , zN , xP , yP , zP
d prend la valeur xN − xM
e prend la valeur yN − yM
f prend la valeur zN − zM
g prend la valeur xP − xM
h prend la valeur yP − yM
i prend la valeur zP − zM
k prend la valeur d × g + e × h + f × i
Afficher k
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EXERCICE 4 : corrigé
1) Figure.
H
G
N
E
F
M
D
C
A
B
P
!
"
−−→
−−→
1 1
2) Le vecteur M N a pour coordonnées −1, − ,
et le vecteur M P a pour coordonnées (0, −1, −2).
2 4
−−→
−−→
S’il existe un réel k tel que M N = k M P , en analysant la première coordonnée, on a −1 = 0 × k ce qui est impossible.
−−→
−−→
Donc, les vecteurs M N et M P ne sont pas colinéaires ou encore les points M , N et P ne sont pas alignés.
1
1
3) a) d prend la valeur −1, e prend la valeur − , f prend la valeur , g prend la valeur 0, h prend la valeur −1 et i
2
4
prend la valeur −2.
"
!
1
1
1 1
× (−1) + × (−2) = − = 0.
k prend la valeur (−1) × 0 + −
2
4
2 2
L’algorithme affiche 0.
−−→ −−→
b) L’algorithme affiche le produit scalaire des vecteurs M N et M P . Ici, ce produit scalaire est nul et donc le triangle
M N P est rectangle en M .
4) Algorithme complété.
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Saisir xM , yM , zM , xN , yN , zN , xP , yP , zP
d prend la valeur xN − xM
e prend la valeur yN − yM
f prend la valeur zN − zM
g prend la valeur xP − xM
h prend la valeur yP − yM
i prend la valeur zP − zM
k prend la valeur d × g + e × h + f × i
afficher k
#
$ #
$
l prend la valeur d2 + e2 + f 2 − g 2 + h2 + i2
afficher l
Si k = 0 et l = 0,
afficher « le triangle M N P est rectangle et isocèle en M »
sinon
afficher « le triangle M N P n’est pas rectangle et isocèle en M »
Fin si
!
"
3
→
5) a) Le plan (M N P ) est le plan passant par M 1, 1,
et de vecteur normal −
n (5, −8, 4). Une équation cartésienne
4
du plan (M N P ) est
!
"
3
5 × (x − 1) − 8 × (y − 1) + 4 × z −
= 0,
4
ou encore
une équation cartésienne du plan (M N P ) est 5x − 8y + 4z = 0.
→
b) ∆ est la droite passant par F (1, 0, 1) et de vecteur directeur −
n (5, −8, 4). Une représentation paramétrique de la
droite ∆ est donc
⎧
⎨ x = 1 + 5t
y = −8t
t ∈ R.
⎩
z = 1 + 4t
6) a) Soit Q(1 + 5t, −8t, 1 + 4t), t ∈ R, un point de ∆.
3
9
⇔t=− .
Q ∈ (M N P ) ⇔ 5(1 + 5t) − 8(−8t) + 4(1 + 4t) = 0 ⇔ 105t + 9 = 0 ⇔ t = −
105
35
"
!
"
!
3
4 24 23
20 24 23
ou encore
.
Quand t = − , on obtient les coordonnées du point K à savoir
, ,
, ,
35
35 35 35
7 35 35
b) [F K] est la hauteur du tétraèdre M N P F issue de F . D’autre part, puisque le triangle M N P est rectangle en M ,
MN × MP
l’aire de ce triangle est A =
.
2
(
√
!
"2 ! "2 )
1
1
21
21
2
+
=
=
M N = (−1) + −
2
4
16
4
et
MP =
*
√
02 + (−1)2 + (−2)2 = 5.
Le volume du tétraèdre M N P F est donc
√
21 √
)
× 5 ) 27
1
1
3×3
3
3×7×5×3×9
1
4
×
=
=
= .
V = × A × FK = ×
3
3
2
35
2×3×4
5×7
2×3×4
8
Le volume V du tétraèdre M N P F est V =
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3
.
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