Nouvelle Calédonie mars 2015. Enseignement

Nouvelle Calédonie mars 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On note (un)et (vn)les suites réelles définies, pour tout entier naturel n,par
u0=1 v0=0 et !un+1 =√3un−vn
vn+1 =un+√3vn
.
1) Calculer les valeurs de u1,v1,u2,v2.
2) On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs deuNet vNpour un entier naturel Ndonné.
a) On donne l’algorithme suivant :
Entrée : Nest un nombre entier
Variables : Kest un nombre entier
Sest un nombre réel
Test un nombre réel
Initialisation : Affecter 1 à S
Affecter 0 à T
Affecter 0 à K
Traitement : Tant que K<N
Affecter √3S−TàS
Affecter S+√3TàT
Affecter K+1àK
Fin Tant que
Sortie : Afficher S
Afficher T
Faire fonctionner cet algorithme pour N=2.Pourcela,onrecopieraetcompléteraletableaudevariables
ci-dessous :
S T K
1 0 0
√3√3 1
b) L’algorithme précédent affiche t-il les valeurs de uNet vNpour un entier Ndonné ?
Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l’algorithme proposé qui affiche bien les valeurs
de uNet vNpour un entier N.
3) On pose, pour tout entier naturel n,zn=un+ivn.
On note ale nombre complexe a=√3+i.
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,
zn+1 =azn.
b) Écrire asous forme exponentielle.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n,
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
un=2
ncos &nπ
6'
vn=2
nsin &nπ
6'
.
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.

Nouvelle Calédonie mars 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
1) u1=√3u0−v0=√3×1−0=√3et v1=u0+√3v0=1+√3×0=1.
u2=√3u1−v1=√3×√3−1=2et v2=u2+√3v2=√3+√3×1=2
√3.
u1=√3,v1=1,u2=2et v2=2
√3.
2) a) Tableau complété.
S T K
1 0 0
√3√3 1
3−√3 6 −√3 2
b) L’algorithme précédent n’affiche donc pas les valeurs de uNet vNpuisque pour N=2,ondevraitobtenirS=2
et T=2
√3.
Algorithme modifié.
Entrée : Nest un nombre entier
Variables : Kest un nombre entier
Sest un nombre réel
Test un nombre réel
Uest un nombre réel
Initialisation : Affecter 1 à S
Affecter 0 à T
Affecter 0 à K
Traitement : Tant que K<N
Affecter SàU
Affecter √3U−TàS
Affecter U+√3TàT
Affecter K+1àK
Fin Tant que
Sortie : Afficher S
Afficher T
3) a) Soit nun entier naturel.
azn=!√3+i"(un+ivn)=√3un+i√3vn+iun−√3vn=!√3un−vn"+i!un+√3vn"
=un+1 +ivn+1 =zn+1.
Pour tout entier naturel n,zn+1 =azn.
b) |a|=#$√3%2+1
2=√4=2puis
a=2&√3
2+1 2i'=2!cos !π 6"+isin !π 6""=eiπ
6.
c) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel, zn=2
neinπ
6.
•z0=1+0i=1=2
0ei0π
6.L’égalitéàdémontrerestvraiequandn=0.
•Soit n!0.Supposonsquezn=2
neinπ
6.Alors,
zn+1 =azn=2eiπ
6zn(d’après la question précédente)
=2eiπ
6×2neinπ 6(par hypothèse de récurrence)
=2
n+1ei(n+1)π
6
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On a montré par récurrence que pour tout entier naturel, zn=2
neinπ
6.
On en déduit que pour tout entier naturel n,un=Re (zn)=2
ncos !nπ
6"et vn=Im (zn)=2
nsin !nπ
6".
Pour tout entier naturel n,un=2
ncos !nπ
6"et vn=2
nsin !nπ
6".
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