Nouvelle Calédonie mars 2015. Enseignement

Nouvelle Calédonie mars 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On note (un ) et (vn ) les suites réelles définies, pour tout entier naturel n, par
√
!
un+1 = 3un√− vn
.
u0 = 1 v0 = 0 et
vn+1 = un + 3vn
1) Calculer les valeurs de u1 , v1 , u2 , v2 .
2) On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs de uN et vN pour un entier naturel N donné.
a) On donne l’algorithme suivant :
Entrée :
N est un nombre entier
Variables :
K est un nombre entier
S est un nombre réel
T est un nombre réel
Initialisation :
Affecter 1 à S
Affecter 0 à T
Affecter 0 à K
Traitement :
Tant que K < N
√
Affecter 3S√− T à S
Affecter S + 3T à T
Affecter K + 1 à K
Fin Tant que
Sortie :
Afficher S
Afficher T
Faire fonctionner cet algorithme pour N = 2. Pour cela, on recopiera et complétera le tableau de variables
ci-dessous :
S
1
√
3
T
0
√
3
K
0
1
b) L’algorithme précédent affiche t-il les valeurs de uN et vN pour un entier N donné ?
Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l’algorithme proposé qui affiche bien les valeurs
de uN et vN pour un entier N .
3) On pose, pour tout entier naturel n,√zn = un + ivn .
On note a le nombre complexe a = 3 + i.
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,
zn+1 = azn .
b) Écrire a sous forme exponentielle.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n,
& nπ '
⎧
n
⎪
⎨ un = 2 cos 6
& ' .
⎪
⎩ v = 2n sin nπ
n
6
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1
c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.
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Nouvelle Calédonie mars 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
√
√
√
√
√
= 3√× 1 − 0 = 3 et v1 = u0√+ 3v0 √
= 1 +√ 3 × 0 = √
1.
1) u1√
= 3u0 − v0 √
u2 = 3u1 − v1 = 3 × 3 − 1 = 2 et v2 = u2 + 3v2 = 3 + 3 × 1 = 2 3.
√
√
u1 = 3, v1 = 1, u2 = 2 et v2 = 2 3.
2) a) Tableau complété.
S
1
√
3
√
3− 3
T
0
√
3
√
6− 3
K
0
1
2
b) L’algorithme
précédent n’affiche donc pas les valeurs de uN et vN puisque pour N = 2, on devrait obtenir S = 2
√
et T = 2 3.
Algorithme modifié.
Entrée :
N est un nombre entier
Variables :
K est un nombre entier
S est un nombre réel
T est un nombre réel
U est un nombre réel
Initialisation :
Affecter 1 à S
Affecter 0 à T
Affecter 0 à K
Traitement :
Tant que K < N
Affecter √
SàU
Affecter 3U√− T à S
Affecter U + 3T à T
Affecter K + 1 à K
Fin Tant que
Sortie :
Afficher S
Afficher T
3) a) Soit n un entier naturel.
azn =
"
!√
"
!
"
!√
√
√
√
√
3 + i (un + ivn ) = 3un + i 3vn + iun − 3vn =
3un − vn + i un + 3vn
= un+1 + ivn+1 = zn+1 .
Pour tout entier naturel n, zn+1 = azn .
#$√ %
√
2
b) |a| =
3 + 12 = 4 = 2 puis
&√
'
! π ""
! !π"
π
3 1
+ i sin
= ei 6 .
a=2
+ i = 2 cos
2
2
6
6
c) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel, zn = 2n ei
nπ
6
.
i 0π
6
• z0 = 1 + 0i = 1 = 20 e . L’égalité à démontrer est vraie quand n = 0.
nπ
• Soit n ! 0. Supposons que zn = 2n ei 6 . Alors,
π
zn+1 = azn = 2ei 6 zn (d’après la question précédente)
π
= 2ei 6 × 2n ei
= 2n+1 e
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nπ
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(par hypothèse de récurrence)
i (n+1)π
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On a montré par récurrence que pour tout entier naturel, zn = 2n ei
On en déduit que pour tout entier naturel n, un = Re (zn ) = 2n cos
Pour tout entier naturel n, un = 2n cos
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2
nπ
6
.
! nπ "
! nπ "
6
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et vn = Im (zn ) = 2n sin
et vn = 2n sin
! nπ "
.
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! nπ "
.
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