Nouvelle Calédonie novembre 2015. Enseignement

Nouvelle Calédonie novembre 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On considère deux suites de nombres réels (dn)et (an)définies par d0=300,a0=450et, pour tout entier naturel
n!0
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
dn+1 =1
2dn+100
an+1 =1
2dn+1 2an+70
1) Calculer d1et a1.
2) On souhaite écrire un algorithme qui permet d’afficher en sortie les valeurs de dnet anpour une valeur entière
de nsaisie par l’utilisateur.
L’algorithme suivant est proposé :
Variables :net ksont des entiers naturels
Det Asont des réels
Initialisation :Dprend la valeur 300
Aprend la valeur 450
Saisir la valeur de n
Traitemen t :Pour kvariant de 1 à n
Dprend la valeur D
2+100
Aprend la valeur A
2+D 2+70
Fin pour
Sortie :Afficher D
Afficher A
a) Quels nombres obtient-on en sortie de l’algorithme pour n=1?
Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1) ?
b) Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu’il affiche les résultats souhaités.
3) a) Pour tout entier naturel n,onposeen=dn −200.
Montrer que la suite (en)est géométrique.
b) En déduire l’expression de dnen fonction de n.
c) La suite (dn)est-elle convergente ? Justifier.
4) On admet que pour tout entier naturel n,
an=100n%1
2&n
+110%1
2&n
+340.
a) Montrer que pour tout entier nsupérieur ou égal à 3, on a 2n2!(n+1)
2.
b) Montrer par récurrence que pour tout entier nsupérieur ou égal à 4,2n!n2.
c) En déduire que pour tout entier nsupérieur ou égal à 4,0"100n%1
2&n
"100
n.
d) Étudier la convergence de la suite (an).
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.

Nouvelle Calédonie novembre 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
1) d1=1
2d0+100= 1 2×300 + 100 = 250 et a1=1 2d0+1 2a0+70= 1 2×300 + 1 2×450 + 70 = 445.
d1=250et a1=445.
2) a) L’algorithme affiche D=250qui est bien la valeur de d1mais ensuite l’algorithme affiche A=420qui n’est pas
la valeur de a1.
b) Algorithme modifié : 1ère solution
Variables :net ksont des entiers naturels
Det Asont des réels
Initialisation :Dprend la valeur 300
Aprend la valeur 450
Saisir la valeur de n
Traitemen t :Pour kvariant de 1 à n
Aprend la valeur A
2+D 2+70
Dprend la valeur D
2+100
Fin pour
Sortie :Afficher D
Afficher A
Algorithme modifié : 2ème solution
Variables :net ksont des entiers naturels
M,Det Asont des réels
Initialisation :Dprend la valeur 300
Aprend la valeur 450
Saisir la valeur de n
Traitemen t :Pour kvariant de 1 à n
Mprend la valeur D
Dprend la valeur M
2+100
Aprend la valeur A
2+M 2+70
Fin pour
Sortie :Afficher D
Afficher A
3) a) Soit nun entier naturel.
en+1 =dn+1 −200 = 1
2dn+100−200 = 1 2dn−100 = 1 2(dn−200) = 1 2en.
Don la suite (en)n∈Nest géométrique de raison q=1
2.
b) D’autre part, e0=d0−200 = 300 −200 = 100.Onsaitalorsquepourtoutentiernatureln,
en=e0×qn=100×!1
2"n
.
On en déduit encore que pour tout entier naturel n,dn=en+200=200+100×!1
2"n
.
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Pour tout entier naturel n,dn=200+100×!1
2"n
.
c) Puisque −1<1
2<1,onsaitque lim
n→+∞!1
2"n
=0.Onendéduitquelasuite(dn)n∈Nconverge et
lim
n→+∞dn=200.
4) a) Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 3.
2n2−(n+1)
2=2n2−n2−2n−1=n2−2n−1=(n−1)2−2.
Ensuite, n!3⇒n−1!2⇒(n−1)2!4⇒(n−1)2−2!2.Enparticulier,(n−1)2−2!0ou encore
2n2−(n+1)
2!0ou enfin 2n2!(n+1) 2.
b) Montrons par récurrence que pour tout n!4,2n!n2.
•24=16et 42=16.Donc,24!42.L’inégalitéàdémontrerestvraiequandn=4.
•Soit n!4.Supposonsque2n!n2.Alors,
2n+1 =2×2n
!2×n2(par hypothèse de récurrence)
!(n+1)
2(d’après la question précédente et car n!4⇒n!3).
On a montré par récurrence que pour tout n!4,2n!n2.
c) Soit nun entier supérieur ou égal à 4.
0<n
2"2n⇒1
2n"1 n2⇒!1 2"n
"1
n2⇒100n!1 2"n
"100n
n2
⇒100n!1
2"n
"100
n.
d) Pour tout n!4,0"100n!1
2"n
"100
navec lim
n→+∞
100
n=0.Lethéorèmedesgendarmespermetd’affirmerque
lim
n→+∞100n!1
2"n
=0.D’autrepart, lim
n→+∞110 !1
2"n
=0.Onendéduitque
lim
n→+∞
an=340.
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