TS3 – TS4 Spécialité maths DSn°4 (matrices 2)

TS3 – TS4 Spécialité maths DSn°4 (matrices 2) 15/02/2014
Exercice : les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante ( A : 3,5pts B : 6,5 pts).
Une espèce d’oiseaux ne vit que sur deux îles A et B dans un archipel.
Au début de l’année 2014, 20 millions d’oiseaux de cette espèce sont présents sur l’île A et 10 millions
sur l’île B.
Un ornithologue spécialiste de cette espèce a pu, grâce à des études statistiques, établir une loi
d’évolution (tenant compte des décès, naissances et migrations) d’une année sur l’autre de la répartition
de ces oiseaux entre les deux îles (les comptages sont effectués systématiquement en début d’année ):
 On trouve en début d’année sur l’île A : 80% des oiseaux présents sur l’île A l’année précédente
auxquels s’ajoutent 30% des oiseaux présents sur l’île B l’année précédente.
 On trouve en début d’année sur l’île B : 20% des oiseaux présents sur l’île A l’année précédente
auxquels s’ajoutent 70% des oiseaux présents sur l’île B l’année précédente.
Pour tout entier naturel  on note  le nombre d’oiseaux (en millions)
présents sur l’île A (respectivement B) au début de l’année (2014 + n).
Partie A : Algorithme et conjectures
L’ornithologue voulant connaître l’évolution de ces populations à moyen terme a confié à son stagiaire la
tâche de faire un algorithme, affichant l’année et le nombre d’oiseaux vivant sur chacune des deux îles,
pour chaque année comprise entre 2014 et une année choisie par l’utilisateur.
Début de l’algorithme
Lire 
 prend la valeur 2014
 prend la valeur 20
 prend la valeur 10
Afficher 
Tantque    faire
 prend la valeur   
 prend la valeur   
 prend la valeur 
FinTantque
Fin de l’algorithme
1° Cet algorithme comporte des « oublis » dans le traitement, mais aucune ligne n’est inutile.
a) Repérer ces oublis et les corriger ( on écrira clairement le nouvel algorithme)
b) Expliquer à quoi sert l’introduction de la variable .
2° On donne ci-dessous le tableau résultant de l’algorithme qui, une fois corrigé et implanté en machine,
a fonctionné après que l’utilisateur a choisi 2020.
Année 
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
20
19
18,5
18,25
18,125
18,0625
18,03125
10
11
11,5
11,75
11,875
11,9375
11,96875
Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des
suites .
T.S.V.P

TS3 – TS4 Spécialité maths DSn°4 (matrices 2) 15/02/2014
Partie B : étude mathématique
On note 
 .
1° Montrer que pour tout entier naturel    , où M est une matrice carrée d’ordre 2 que
l’on déterminera.
Préciser la matrice .
On admet pour tout la suite que pour tout entier naturel    .
2° Déterminer une matrice colonne  
 vérifiant :       .
3° On considère les matrices    
  et    
a) Calculer  et montrer que    
.
b) Calculer   .
4° A l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir que, pour tout entier      
5° a) Exprimer pour tout entier naturel     en fonction de .
b) Avec ce modèle, peut-on dire qu’au bout d’un grand nombre d’années le nombre d’oiseaux sur l’île
A va se stabiliser ? Si oui, préciser vers quelle valeur.
c) Qu’en est-il pour la population d’oiseaux sur l’île B ?
Bonus : on considère la matrice    
  .
a) Démontrer que     
 où  désigne la matrice identité d’ordre 2.
b) En déduire que  est inversible et exprimer  en fonction de T, puis donner la valeur de .
c) En quoi cette matrice , pouvait-elle être utile à la question partie B 2° ?