Rochambeau 2013. Enseignement spécifique

Rochambeau 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On considère la suite (un)définie par u0=1et, pour tout entier naturel n,
un+1=!2un.
1) On considère l’algorithme suivant
Variable s : nest un entier naturel
uest un réel positif
Initialisation : Demander la valeur de n
Affecter à ula valeur 1
Traite ment : Pour ivariant de 1àn
Affecter à ula valeur √2u
Fin de Pour
Sortie : Afficher u
a) Donner une valeur approchée à 10−4près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on choisit n=3.
b) Que permet de calculer cet algorithme ?
c) Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenuesàl’aidedecetalgorithmepourcertaines
valeurs de n.
n 1 5 10 15 20
Valeur affichée 1, 414 2 1, 915 2 1, 927 2 1, 999 9 1, 999 9
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (un)?
2) a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,0<u
n!2.
b) Déterminer le sens de variation de la suite (un).
c) Démontrer que la suite (un)est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
3) On considère la suite (vn)définie, pour tout entier naturel n,parvn=ln un−ln 2.
a) Démontrer que la suite (vn)est la suite géométrique de raison 1
2et de premier terme v0=−ln 2.
b) Déterminer, pour tout entier naturel n,l’expressiondevnen fonction de n,puisdeunen fonction de n.
c) Déterminer la limite de la suite (un).
d) Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie,
de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de ntelle que un>1,999.
Variable s : nest un entier naturel
uest un réel
Initialisation : Affecter à nla valeur 0
Affecter à ula valeur 1
Traite ment :
Sortie :
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Rochambeau 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 : corrigé
1) a) La calculatrice fournit u1=√2=1, 4142 . . .,u2=!2√2=1, 6817 . . .,u3="2!2√2=1, 8340 . . .
Quand n=3,l’algortihmeaffichelavaleurdeu3c’est-à-dire 1, 8340 à10−4près.
b) L’algorithme demande un entier net affiche la valeur de un(pour n!1).
c) Il semblerait que la suite (un)soit strictement croissante et converge vers 2.
2) a) Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n,0<u
n"2.
•u0=1et 0<1"2.Doncl’encadrementàdémontrerestvraiquandn=0.
•Soit n!0.Supposonsque0<u
n"2et montrons que 0<u n+1"2.
0<u
n"2⇒0<2u n"4
⇒√0<!2un"√4(par stricte croissance de la fonction x"→√xsur ]0, +∞[)
⇒0<u
n+1"2.
On a montré par récurrence que
pour tout entier naturel n,0<u
n"2.
b) Soit nun entier naturel.
2!un⇒2un!u2
n(car un!0)
⇒!2un!"u2
n
⇒un+1!un("u2
n=uncar un!0).
Ainsi, pour tout entier naturel n,un+1!unet donc
la suite (un)n∈Nest croissante.
c) La suite (un)n∈Nest croissante et majorée par 2et donc la suite (un)n∈Nest convergente.
3) a) Soit nun entier naturel.
vn+1=ln (un+1)−ln 2=ln #!2un$−ln 2=1
2ln(2un)−ln 2
=1
2(ln 2+ln(un)) −ln 2=1 2(ln 2+vn+ln 2)−ln 2=1 2vn+ln 2−ln 2
=1
2vn.
Ainsi, pour tout entier naturel n,vn+1=1
2vn.Deplus,v0=ln(u0)−ln 2=ln 1−ln 2=−ln 2.
On a montré que
la suite (vn)est la suite géométrique de raison 1
2et de premier terme v0=−ln 2.
b) On sait alors que pour tout entier naturel n
vn=v0×qn=−ln 2×%1
2&n
=−
ln 2
2n.
Pour tout entier naturel n,
vn=ln(un)−ln 2⇒ln(un)=ln 2+vn⇒un=eln 2+vn⇒un=eln 2×evn⇒un=2×evn
et par suite, un=2e−ln 2
2n.
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Pour tout entier naturel n,un=2e−ln 2
2n.
c) Puisque −1<1
2<1,onsaitque lim
n→+∞%1
2&n
=0.Onendéduitque lim
n→+∞
−ln 2×%1
2&n
=0puis
lim
n→+∞
exp %−ln 2×%1
2&n&=lim
X→0eX=e0=1
et donc lim
n→+∞
un=lim
n→+∞
2exp %−ln 2×%1
2&n&=2.
lim
n→+∞
un=2.
d) Algorithme.
Variable s : nest un entier naturel
uest un réel
Initialisation : Affecter à nla valeur 0
Affecter à ula valeur 1
Traite ment : Tant que u"1, 999 faire
Affecter à nla valeur n+1
Affecter à ula valeur √2u
Fin Tant que
Sortie : Afficher n
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