Centres étrangers 2013. Enseignement spécifique

Centres étrangers 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
L’objet de cet exercice est l’étude de la suite (un)définie par son premier terme u1=3
2et la relation de récurrence :
un+1=nun+1
2(n+1).
Partie A - Algorithmique et conjectures
Pour calculer et afficher le terme
u9de la suite, un élève propose
l’algorithme ci-contre.
Il a oublié de compléter deux
lignes.
Variables : nest un entier naturel
uest un réel
Initialisation : Affecter à nla valeur 1
Affecter à ula valeur 1, 5
Traitement : Tant que n<9
Affecter à ula valeur . . .
Affecter à nla valeur . . .
Fin de Tant que
Sortie : Afficher la variable u
1) Recopier et compléter les deux lignes de l’algorithme où figurent des points de suspension.
2) Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu’il calcule et affiche tous les termes de la suite de u2jusqu’à
u9?
3) Avec c et a lg o rith me mo difié, o n a o btenu l es ré s ul ta ts suiva nts, arrondis au dix-millième :
n 1 2 3 4 5 6 ... 99 100
un1, 5 0, 625 0, 375 0, 265 6 0, 206 3 0, 169 3 ... 0, 010 2 0, 010 1
Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un).
Partie B - Étude mathématique
On définit une suite auxiliaire (vn)par : pour tout entier n!1,vn=nun−1.
1) Montrer que la suite (vn)est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
2) En déduire que, pour tout entier naturel n!1,ona:un=1+(0, 5)n
n.
3) Déterminer la limite de la suite (un).
4) Justifier que, pour tout entier n!1,ona:un+1−un=−
1+(1+0, 5n)(0, 5)n
n(n+1).
En déduire le sens de variation de la suite (un).
Partie C - Retour à l’algorithmique
En s’inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d’afficher le plus petit entier ntel
que un<0,001.
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

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EXERCICE 4 : corrigé
Partie A - Algorithmique et conjectures
1) Algorithme complété.
Variables : nest un entier naturel
uest un réel
Initialisation : Affecter à nla valeur 1
Affecter à ula valeur 1, 5
Traitement : Tant que n<9
Affecter à ula valeur nu −1
2(n+1)
Affecter à nla valeur n+1
Fin de Tant que
Sortie : Afficher la variable u
2) Algorithme complété et modifié.
Variables : nest un entier naturel
uest un réel
Initialisation : Affecter à nla valeur 1
Affecter à ula valeur 1, 5
Traitement : Tant que n<9
Affecter à ula valeur nu −1
2(n+1)
Affecter à nla valeur n+1
Afficher la variable u
Fin de Tant que
3) Il semble que la suite (un)soit strictement décroissante et converge vers 0.
Partie B - Étude mathématique
1) v1=1×u1−1=3
2−1=1 2.Soitnun entier naturel non nul.
vn+1=(n+1)un+1−1=(n+1)nun+1
2(n+1)−1=nun+1 2−1=nun+1−2 2=nun−1 2
=vn
2=0, 5 vn.
On a montré que la suite (vn)est géométrique de raison q=0, 5 et de premier terme v1=0, 5.
2) On en déduit que, pour tout entier naturel n!1,
vn=v1×qn−1=0, 5 ×(0, 5)n−1=(0, 5)n.
Ensuite, pour tout entier naturel n!1,
vn=nun−1⇒nun=vn+1⇒un=1+vn
n⇒un=1+(0, 5)n n.
On a montré que
pour tout entier naturel n!1,un=1+(0, 5)n
n.
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3) Puisque −1<0,5<1,lim
n→+∞
(0, 5)n=0et donc lim
n→+∞
(1+(0, 5)n)=1.D’autrepart, lim
n→+∞
n=+∞et en
divisant, on obtient
lim
n→+∞un=0.
4) Soit n!1.
un+1−un=1+(0, 5)n+1
n+1−1+(0, 5)n n=
n!1+(0, 5)n+1"−(n+1)#1+(0, 5)n$
n(n+1)
=n+n×0, 5 ×(0, 5)n−n−n×(0, 5)n−1−(0, 5)n
n(n+1)=−1−0, 5n (0, 5)n−(0, 5)n n(n+1)
=−1−(1+0, 5n)(0, 5)n
n(n+1)=−
1+(1+0, 5n)(0, 5)n
n(n+1).
Pour tout entier naturel non nul n,1+(1+0, 5n)(0, 5)n
n(n+1)>0et donc, pour tout entier naturel non nul n,
un+1−un<0ou encore pour tout entier naturel non nul n,un+1<u
n.
On en déduit que la suite (un)est strictement décroissante.
Partie C - Retour à l’algorithmique
L’algorithme ci-dessous permet de déterminer et d’afficher lepluspetitentierntel que un<0,001.
Variables : nest un entier naturel
uest un réel
Initialisation : Affecter à nla valeur 1
Affecter à ula valeur 1, 5
Traitement : Tant que u!0, 001
Affecter à ula valeur nu −1
2(n+1)
Affecter à nla valeur n+1
Fin de Tant que
Sortie : Afficher la variable n
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