AntillesGuyane 2015. Enseignement spécifique

AntillesGuyane 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Partie A.
On considère l’algorithme suivant :
Variables : ket psont des entiers naturels
uest un réel
Entrée : Demander la valeur de p
Traitement : Affecter à ula valeur 5
Pour kvariant de 1àp
Affecter à ula valeur 0,5u+0,5(k−1) −1,5
Fin de pour
Sortie : Afficher u
Faire fonctionner cet algorithme pour p=2en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
Quel nombre obtient-on en sortie ?
Partie B.
Soit (un)la suite définie par son premier terme u0=5et, pour tout entier naturel npar
un+1 =0,5un+0,5n−1,5.
1) Modifier l’algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de unpour nvariant de 1àp.
2) Al’aidedel’algorithmemodifié,aprèsavoirsaisip=4,onobtientlesrésultatssuivants:
n1 2 3 4
un1−0,5−0,75 −0,375
Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite (un)est décroissante ?
Justifier.
3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 3,un+1 >u
n.
Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite (un)?
4) Soit (vn)la suite définie pour tout entier naturel npar vn=0,1un−0,1n+0,5.
Démontrer que la suite (vn)est géométrique de raison 0,5et exprimer alors vnen fonction de n.
5) En déduire que, pour tout entier naturel n,
un=10×0,5n+n−5.
6) Déterminer alors la limite de la suite (un).
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.

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EXERCICE 4 : corrigé
Partie A
•p=2
•u=5
•k=1puis u=0,5×5+0,5(1 −1) −1,5=1
•k=2puis u=0,5×1+0,5(2 −1) −1,5=−0,5
L’algorithme affiche alors −0,5.
Partie B
1) Algorithme modifié.
Variables : ket psont des entiers naturels
uest un réel
Entrée : Demander la valeur de p
Traitement : Affecter à ula valeur 5
Pour kvariant de 1àp
Affecter à ula valeur 0,5u+0,5(k−1) −1,5
Afficher u
Fin de pour
2) On a u0>u
1>u 2>u 3et u3<u 4.Puisqueu3<u 4,lasuite(un)n∈Nn’est pas décroissante.
3) Montrons par récurrence que pour tout n!3,un+1 >u
n.
•L’inégalité est vraie quand n=3d’après la question précédente.
•Soit n!3,Supposonsqueun+1 >u
net montrons que un+2 >u n+1.
un+2 =0,5un+1 +0,5(n+1)−1,5=0,5un+1 +0,5n−1
>0,5un+0,5n−1(par hypothèse de récurrence)
=0,5un+0,5n−1,5+0,5=un+1 +0,5
>u
n+1.
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n!3,un+1 >u
n.
La suite (un)n∈Nest donc strictement décroissante jusqu’au rang 3puis strictement croissante.
4) Soit n∈N.
vn+1 =0,1un+1 −0,1(n+1)+0,5=0,1(0,5un+0,5n−1,5) −0,1n−0,1+0,5
=0,05un+0,05n−0,15 −0,1n+0,4=0,05un−0,05n−0,25
=0,5(0,1un−0,1n+0,5)
=0,5vn.
La suite (vn)n∈Nest donc une suite géométrique de raison q=0,5.D’autrepart,
v0=0,1u0−0,1×0+0,5=0,1×5+0,5=1.
On en déduit que pour tout entier naturel n,
vn=v0×qn=(0,5)n.
5) Soit n!0.
vn=0,1un−0,1n+0,5⇒0,1un=vn+0,1n−0,5⇒un
10 =(0,5)n+n−5 10 ⇒un=10×(0,5)n+n−5.
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Pour tout entier naturel n,un=10×(0,5)n+n−5.
6) Puisque −1<0,5<1,lim
n→+∞10 ×(0,5)n=0.D’autrepart, lim n→+∞(n−5) = +∞.Enadditionnant,onobtient
lim
n→+∞
un=+∞.
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