AntillesGuyane 2015. Enseignement spécifique

AntillesGuyane 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Partie A.
On considère l’algorithme suivant :
Variables :
k et p sont des entiers naturels
u est un réel
Entrée :
Demander la valeur de p
Traitement :
Affecter à u la valeur 5
Pour k variant de 1 à p
Affecter à u la valeur 0, 5u + 0, 5(k − 1) − 1, 5
Fin de pour
Afficher u
Sortie :
Faire fonctionner cet algorithme pour p = 2 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
Quel nombre obtient-on en sortie ?
Partie B.
Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 = 5 et, pour tout entier naturel n par
un+1 = 0, 5un + 0, 5n − 1, 5.
1) Modifier l’algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de un pour n variant de 1 à p.
2) A l’aide de l’algorithme modifié, après avoir saisi p = 4, on obtient les résultats suivants :
n
un
1
1
2
−0, 5
3
−0, 75
4
−0, 375
Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite (un ) est décroissante ?
Justifier.
3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, un+1 > un .
Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite (un ) ?
4) Soit (vn ) la suite définie pour tout entier naturel n par vn = 0, 1un − 0, 1n + 0, 5.
Démontrer que la suite (vn ) est géométrique de raison 0, 5 et exprimer alors vn en fonction de n.
5) En déduire que, pour tout entier naturel n,
un = 10 × 0, 5n + n − 5.
6) Déterminer alors la limite de la suite (un ).
http ://www.maths-france.fr
1
c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.
⃝
Antilles Guyane 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
Partie A
•
•
•
•
p=2
u=5
k = 1 puis u = 0, 5 × 5 + 0, 5(1 − 1) − 1, 5 = 1
k = 2 puis u = 0, 5 × 1 + 0, 5(2 − 1) − 1, 5 = −0, 5
L’algorithme affiche alors −0, 5.
Partie B
1) Algorithme modifié.
Variables :
k et p sont des entiers naturels
u est un réel
Entrée :
Demander la valeur de p
Traitement :
Affecter à u la valeur 5
Pour k variant de 1 à p
Affecter à u la valeur 0, 5u + 0, 5(k − 1) − 1, 5
Afficher u
Fin de pour
2) On a u0 > u1 > u2 > u3 et u3 < u4 . Puisque u3 < u4 , la suite (un )n∈N n’est pas décroissante.
3) Montrons par récurrence que pour tout n ! 3, un+1 > un .
• L’inégalité est vraie quand n = 3 d’après la question précédente.
• Soit n ! 3, Supposons que un+1 > un et montrons que un+2 > un+1 .
un+2 = 0, 5un+1 + 0, 5(n + 1) − 1, 5 = 0, 5un+1 + 0, 5n − 1
> 0, 5un + 0, 5n − 1 (par hypothèse de récurrence)
= 0, 5un + 0, 5n − 1, 5 + 0, 5 = un+1 + 0, 5
> un+1 .
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n ! 3, un+1 > un .
La suite (un )n∈N est donc strictement décroissante jusqu’au rang 3 puis strictement croissante.
4) Soit n ∈ N.
vn+1 = 0, 1un+1 − 0, 1(n + 1) + 0, 5 = 0, 1 (0, 5un + 0, 5n − 1, 5) − 0, 1n − 0, 1 + 0, 5
= 0, 05un + 0, 05n − 0, 15 − 0, 1n + 0, 4 = 0, 05un − 0, 05n − 0, 25
= 0, 5 (0, 1un − 0, 1n + 0, 5)
= 0, 5vn .
La suite (vn )n∈N est donc une suite géométrique de raison q = 0, 5. D’autre part,
v0 = 0, 1u0 − 0, 1 × 0 + 0, 5 = 0, 1 × 5 + 0, 5 = 1.
On en déduit que pour tout entier naturel n,
vn = v0 × q n = (0, 5)n .
5) Soit n ! 0.
vn = 0, 1un − 0, 1n + 0, 5 ⇒ 0, 1un = vn + 0, 1n − 0, 5 ⇒
http ://www.maths-france.fr
1
un
n−5
= (0, 5)n +
⇒ un = 10 × (0, 5)n + n − 5.
10
10
c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.
⃝
Pour tout entier naturel n, un = 10 × (0, 5)n + n − 5.
6) Puisque −1 < 0, 5 < 1, lim 10 × (0, 5)n = 0. D’autre part, lim (n − 5) = +∞. En additionnant, on obtient
n→+∞
n→+∞
lim un = +∞.
n→+∞
http ://www.maths-france.fr
2
c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.
⃝