Chapitre 1 Spécialité Corrigés des exercices Application 2 Soit n un entier relatif. 7 divise 35 , donc 7 divise 35n. Si 7 divisait 35n + 2, alors il diviserait 35n + 2 – 35n, c’est-à-dire 2. Ceci est faux, donc 7 ne divise pas 35n + 2. 44 397 = 12b + r avec 0 ⩽ r < b. On a donc 12b ⩽ r + 12b < 13b en ajoutant 12b membre à membre, ce qui donne 12b ⩽ 397 < 13b. 397 397 On doit donc avoir, b ⩽ et < b, c’est-à12 13 397 397 dire < b ⩽ . 12 13 Finalement, on peut avoir b = 31 ou b = 32 ou b = 33. Les seuls couples (b ; r) possibles sont donc (31 ; 25), ­(32 ; 13) et (33 ; 1). 49 a. 527 – 5 = 522. Or 11 ne divise pas 522, donc 527 n’est pas congru à 5 modulo 11. b. 11 126 – 5 = 11 121 = 11× 1011. Ainsi, 11 126 – 5 est divisible par 11, ce qui prouve que 11 126 est congru à 5 modulo 11. c. –380 – 5 = –385. Comme 5 + 3 = 8, – 385 est divisible par 11. Donc – 380 est congru à 5 modulo 11. chapitre 13 ● Produit scalaire dans l’espace Chapitre 1 Spécialité Pour préparer le bac ROC Supposons qu’il existe deux couples (q1 ; r1) et (q2 ; r2). On a : a = 7q1 + r1 et a = 7q2 + r2, donc 7(q1 – q2) + r1 – r2 = 0, ce qui donne r2 – r1 = 7(q1 – q2). Par conséquent, 7 divise r2 – r1. Par ailleurs, 0 ⩽ r1 < 7 et 0 ⩽ r2 < 7, donc – 7 < r2 – r1 < 7. Le seul multiple de 7 strictement compris entre –7 et 7 est 0, donc 0 = r2 – r1, ce qui prouve que r2 = r1. Comme r2 – r1 = 7(q1 – q2), on en déduit que q1 = q2. Application 1. 13 457 = 7 × 1922 + 3. 2. (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 3. 13 4574 = (7 × 1922 + 3)4 = (7 × 1922)4 + 4(7 × 1922)3 × 3 + 6(7 × 1922)2 × 32 + 4(7 × 1922) × 33 + 34 Les quatre premiers termes sont des multiples de 7 ; par conséquent, 13 4574 = 7q + 34 avec q entier naturel. Par ailleurs, 34 = 81 = 7 × 11 + 4 donc 13 4574 = 7(q + 11) + 4. Cette écriture est du type 7p + r avec p entier et r = 4 vérifiant 0 ⩽ r < 7. D’après l’unicité démontrée dans la première partie, 4 est le reste dans la division euclidienne de 13 4574 par 7. Vrai ou Faux Proposition 1 : Vrai. En effet, soit n un entier naturel. On a : 22n = (22)n = 4n. Or 4 1 (3), donc 4n 1n (3), ce qui donne 22n 1 (3). Ainsi, 22n − 1 0 (3), ce qui prouve que 3 divise 22n – 1. Proposition 2 : Faux. Un contre-exemple suffit. On peut vérifier que x = 4 constitue un contre-exemple. De peur de ne pas trouver de contre-exemple simple, on peut effectuer la recherche comme suit. Tableau de congruences modulo 11 : x 2x + 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 9 8 0 7 7 0 8 9 3 Tableau modulo 10 : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2x2 0 2 8 8 2 0 2 8 2 0 4 est solution de 2x2 + 1 ≡ 0 (11), mais pas de 2x2 ≡ 0 (10). On aurait pu choisir 7. Proposition 3 : Faux. Contre-exemple : si x = 2, alors x2 + x = 6, donc x est solution de l’équation. Mais x n’est pas congru à 0 modulo 3. chapitre 1 ● Divisibilité dans ℤ, congruences Proposition 4 : Vrai. M = 100a + 10b + c et N = 100b + 10c + a. Comme M ≡ 0 (27), –100a – 10b ≡ c (27). Par conséquent, 10c ≡ –1000a –100b (27), ce qui donne N ≡ 100b – 1000a – 100b + a (27). Ainsi, N ≡ – 999a (27). Comme 999 est un multiple de 27, le nombre 999a est congru à 0 modulo 27. Finalement, N ≡ 0 (27). Comme M et N sont multiples de 27, M – N est divisible par 27. Proposition 5 : Faux. Contre-exemple : si a = 1 et b = 8, alors a2 ≡ 1 (9) et b2 ≡ 1 (9). Ainsi, a2 ≡ b2 (9). Par contre, a – b ≡ –1 (3), donc a n’est pas congru à b modulo 3. Proposition 6 : Faux. Contre-exemple pour n = 4 : 4 ! + 1 = 25 n’est pas premier. Exercice 1. a. Chiffre unités n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Chiffre unités n2 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 Comme le chiffre des unités de n2 est 6, le chiffre des unités de n est 4 ou 6. b. Dire que le chiffre des unités de n est 4 revient à dire que n ≡ 4 (10) ou qu’il existe k entier relatif tel que n = 10k + 4. De même, dire que le chiffre des unités de n est 6 revient à dire que n ≡ 6 (10) ou que n ≡ −4 (10) ou qu’il existe un entier relatif k tel que n = 10k – 4. c. Si le chiffre des unités de n2 est 4, alors, d’après les questions précédentes, il existe un entier relatif k tel que n = 10k + 4 ou n = 10k – 4. Dans le premier cas, n2 + 4 = (10k + 4)2 + 4, ce qui donne n2 + 4 = 100k2 + 80k + 20. Comme chaque terme est multiple de 20, n2 + 4 est multiple de 20. Dans le deuxième cas, un calcul similaire donne n2 + 4 = 100k2 – 80k + 20. Ainsi, n2 + 4 est multiple de 20. Finalement, on a bien prouvé que, si le chiffre des unités de n2 est 4, alors n2 + 4 est multiple de 20. Réciproquement, supposons que n2 + 4 est multiple de 20. On peut alors affirmer que n2 + 4 ≡ 0 (20). Tableau modulo 20 : n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n2 + 4 4 5 8 13 0 9 0 13 8 5 n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 n2 + 4 4 5 8 13 0 9 0 13 8 5 D’après le tableau ci-dessus, on doit avoir n = 4 + 10k ou n = 6 + 10k avec k entier relatif, ce qui implique que l’écriture décimale de n2 se termine par 6. 2. a. On sait que 10 ≡ 1 (9), donc, pour tout n supérieur ou égal à 2, 10n ≡ 1 (9). On en déduit que 10n – 1 ≡ 0 (9). Ainsi, il existe k entier relatif tel que 10n – 1 = k , et donc 10n – 1 = 9k. On en déduit que 9 Rn = 6k est un entier. 10n – 1 10n – 1 n−1 k = = ∑ 10 , donc 9 10 – 1 k =0 10n – 1 9 est un entier qui s’écrit avec n chiffres 1. On en déduit que Rn est un nombre qui s’écrit avec n chiffres 6 (R2 = 66, R3 = 666…). b. R2 = 6 × 11, donc R2 ≡ 6 (20). Pour k ⩾ 2, 10k = 100, donc 10k ≡ 0 (20). n–1 Ainsi, pour tout n ⩾ 2, ∑ 10k 11 (20). k =0 On en déduit que, Rn ≡ 66 (20), et donc Rn ≡ 6 (20). Le reste dans la division de Rn par 20 est donc égal à 6 car 0 ⩽ 6 < 20. c. Supposons qu’il existe un entier relatif m tel que Rn = m2 ; alors m2 + 4 ≡ 10 (20). On en déduit, d’après 1. c., que le chiffre des unités de m2 n’est pas égal à 6. Ceci est absurde puisque, quel que soit n ⩾ 2, Rn a pour chiffre des unités 6. Aucun des Rn n’est donc un carré. épreuve pratique 1. a. et b. Fichiers associés : prbac_EP_cs1.xls (Excel), prbac_EP_ cs1.ods (OpenOffice) et prbac cs1.tns (TI-Nspire). Procédure Excel ou OpenOffice En colonne 1, sur la ligne 2, on écrit n. Puis, dans les autres colonnes, on fait afficher les nombres entiers 1, 2… (correspondant au numéro de l’étape de l’algorithme) : pour cela, on saisit 1 en B2, puis 2 en B3 ; on sélectionne alors les deux cellules et on recopie vers la droite. En A3, on écrit 1 ; en A4, on écrit 2 ; puis on sélectionne les deux cellules et on recopie vers le bas. En B3, on saisit =SI(MOD(A3 ;2)=0 ;A3/2 ;3*A3+1) ; on recopie vers la droite et vers le bas. Remarque : pour visualiser rapidement la dernière étape, on peut imbriquer deux SI, comme ci-dessous : =SI(OU(A3=1 ; A3 = ″Fin″) ; ″Fin″ ; SI(MOD(A3 ;2)=0 ; A3/2 ;3*A3+1)) Ainsi, dès que l’on a 1 dans la cellule précédente, le tableur affiche Fin. On peut également lui faire afficher un vide avec ″″ . Procédure TI-Nspire Les pages 1 à 4 contiennent respectivement les suites de Syracuse des nombres de 1 à 25, de 26 à 50, de 51 à 75, de 76 à 100. La page 5 à 7 contiennent respectivement les suites de Syracuse des nombres de la forme 2p, 8k + 4 et 8k + 5 (questions 2. a. et 2. b.). Dans la première page, on a placé les nombres de 1 à 25 sur la première ligne. On a tapé la formule suivante en A2, qu’on a « recopiée » de B2 à Y120 : Pour obtenir la deuxième page, on a copié la première page et on a remplacé 1 par 26 dans la cellule A1. La page s’est alors mise à jour. On a opéré de même pour les pages 3 et 4. c. L(26) = 11 ; L(27) = 112 (attention, vu la numérotation, il faut ajouter 1 au numéro de l’étape) 2. a. On conjecture que, pout tout p entier naturel non nul, L(2p) = p + 1. Posons u0 = n et uk = valeur obtenue après k applications de l’algorithme pour k > 0. Si u0 = 2p avec p > 0, alors u1 = 2p – 1 et, pour tout k entier tel que 0 < k ⩽ p, uk = 2p – k. Par ailleurs, si k = p, on a uk = 1. La longueur L(2p) est donc égale à p + 1. b. On conjecture que, pout tout k entier naturel non nul, L(8k + 4) = L(8k + 5) et qu’à partir de la ligne 4, pour une même valeur de k, les suites de Syracuse de 8k + 4 et 8k + 5 sont identiques. c. Considérons deux suites de Syracuse (up) et (vp). Prouvons d’abord que, si u0 = 8k + 4 et v0 = 8k + 5 avec k ∈ ℕ*, alors u3 = v3. On a u1 = 4k + 2 et u2 = 2k + 1, donc u3 = 3(2k + 1) + 1 = 6k + 4. Par ailleurs, v1 = 3(8k + 5) + 1 = 24k + 16 donc v2 = 12k + 8 et v3 = 6k + 4. Ainsi, on a bien u3 = v3, et par conséquent, à partir de l’indice 3, les deux suites de Syracuse sont égales. Leur longueur est donc la même. 3. Appelons (uk) la suite des nombres de Syracuse et posons u0 = n. Si le reste dans la division euclidienne de n par 4 est n • 0 ou 2, alors n est divisible par 2, donc u1 = . 2 On a bien u1 < n. • 1, alors n = 4p + 1 avec p entier naturel. Comme n est impair, u1 = 3(4p + 1) + 1 = 12p + 4. On a alors u2 = 6p + 2, puis u3 = 3p + 1. Comme 3 < 4 et p > 0, on en déduit que u3 < n. chapitre 1 ● Divisibilité dans ℤ, congruences Chapitre 1 Spécialité Les TICE Les exemples Casio Fichiers associés : Division euclidienne : fichiers calculatrices CS1DIVEU.8xp (fichier TI) et TiceDivEuclidienneExemple.CAT (fichier Casio). Chiffres extraits : fichiers calculatrices CS1CHIF1.8xp (fichier TI) et TiceChiffreExempleCasio.CAT (fichier Casio). Fichiers tableurs : tice_exemple_cs1.ods (OpenOffice), tice_exemple_cs1.xls (Excel) et fichier tice cs1. tns (TI-Nspire). TI Division euclidienne Casio Le ? et le se trouvent dans SHIFT VARS (PRGM). Intg est accessible par OPTN puis Num. b. On peut commencer par chercher le nombre de milliers, puis trouver son chiffre des unités. Dans les programmes proposés, on appelle M le nombre de milliers, et C le chiffre des milliers. Casio TI La flèche vers la droite s’obtient avec la touche STO Extraire les chiffres d’un nombre entier naturel Casio TI Applications Fichiers associés : Fichiers calculatrices : CS1CHIF2.8xp et CS1FACT.8xp (fichiers TI) et TiceAppli1Casio.CAT et TiceAppli2Casio.CAT (fichiers Casio). Fichiers tableurs : tice_appl_cs1.ods (OpenOffice), tice_appl_cs1.xls (Excel) et fichier tice cs1.tns (TINspire). a. Il suffit de remplacer 3 par 4 dans l’algorithme de l’exemple. On obtient : chapitre 1 ● Divisibilité dans ℤ, congruences TI c. le nombre de dizaines d’un nombre N est la parN tie entière de . 10 Procédure OpenOffice ou Excel Fichiers tice_appl_cs1.ods (OpenOffice) et tice_ appl_cs1.xls (Excel) N! s’obtient en tapant =Fact(N). Dans la colonne A, on fait afficher les valeurs de n. Dans la colonne B, on fait afficher n !. En B2, on saisit =FACT(A2), puis on recopie vers le bas. En C2, on saisit =ENT(B2/10) En D2, on saisit = ENT(B2/100) Procédure TI-Nspire Fichier tice cs1.tns En pages 1 & 2, situations décrites dans l’exemple de la page En page 3, résolution de l’application a En page 4, résolution de l’application c. Dans la page 4, on a placé les chiffres des unités, dizaines, centaines et milliers en colonne B à E (non demandés dans la question) et les nombres de dizaines et de centaines en colonnes F et G. Pour obtenir 4!, on tape directement 4! Au clavier de l’ordinateur ou on va chercher ! dans la mémoire de symboles. Remplacer ENT par int.