Solutions pour les élèves

1
Finalement, on peut avoir b = 31 ou b = 32 ou
b = 33.
Les seuls couples (b ; r) possibles sont donc (31 ; 25),
(32 ; 13) et (33 ; 1).
49
a. 527 – 5 = 522. Or 11 ne divise pas 522,
donc 527 n’est pas congru à 5 modulo 11.
b. 11 126 – 5 = 11 121 = 11 × 1011. Ainsi, 11 126 – 5
est divisible par 11, ce qui prouve que 11 126 est
congru à 5 modulo 11.
c. –380 – 5 = –385. Comme 5 + 3 = 8, – 385 est divisi-
ble par 11. Donc – 380 est congru à 5 modulo 11.
Application
2 Soit n un entier relatif. 7 divise 35 , donc 7
divise 35n. Si 7 divisait 35n + 2, alors il diviserait
35n + 2 – 35n, c’est-à-dire 2. Ceci est faux, donc 7
ne divise pas 35n + 2.
44 397 = 12b + r avec 0 ⩽ r < b.
On a donc 12b ⩽ r + 12b < 13b en ajoutant 12b mem-
bre à membre, ce qui donne 12b ⩽ 397 < 13b.
On doit donc avoir, b ⩽
397
12
et
397
13
< b, c’est-à-
dire
397
13
< b ⩽
397
12
.
Chapitre 1 Spécialité Corrigés des exercices
CHAPITRE 13 ● Produit scalaire dans l’espace

CHAPITRE 1 ● Divisibilité dans ℤ, congruences
2
Chapitre 1 Spécialité Pour préparer le bac
ROC
Supposons qu’il existe deux couples (q
1
; r
1
) et
(q2 ; r2).
On a : a = 7q1 + r1 et a = 7q2 + r2, donc
7(q1 – q2) + r1 – r2 = 0, ce qui donne r2 – r1 = 7(q1 – q2).
Par conséquent, 7 divise r2 – r1.
Par ailleurs, 0 ⩽ r1 < 7 et 0 ⩽ r2 < 7, donc
– 7 < r2 – r1 < 7.
Le seul multiple de 7 strictement compris entre –7 et
7 est 0, donc 0 = r2 – r1, ce qui prouve que r2 = r1.
Comme r2 – r1 = 7(q1 – q2), on en déduit que
q1 = q2.
Application
1. 13 457 = 7 × 1922 + 3.
2. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
3. 13 4574 = (7 × 1922 + 3)4
= (7 × 1922)4 + 4(7 ×1922)3 ×3
+ 6(7 × 1922)2 ×32
+ 4(7 × 1922) ×33 + 34
Les quatre premiers termes sont des multiples
de 7 ; par conséquent, 13 457
4
= 7q + 3
4
avec q
entier naturel.
Par ailleurs, 34 = 81 = 7 ×11 + 4 donc
13 4574 = 7(q + 11) + 4.
Cette écriture est du type 7p + r avec p entier et
r = 4 vérifiant 0 ⩽ r < 7. D’après l’unicité démon-
trée dans la première partie, 4 est le reste dans la
division euclidienne de 13 4574 par 7.
Vrai ou Faux
Proposition 1 : Vrai. En effet, soit n un entier natu-
rel. On a : 22n = (22)n = 4n.
Or
4 1
(3), donc
4 1
n n
(3), ce qui donne
2 1
2n
(3).
Ainsi,
2 1 0
2n−
(3), ce qui prouve que 3 divise
22n – 1.
Proposition 2 : Faux.
Un contre-exemple suffit. On peut vérifier que x = 4
constitue un contre-exemple. De peur de ne pas
trouver de contre-exemple simple, on peut effec-
tuer la recherche comme suit.
Tableau de congruences modulo 11 :
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2x2 + 1 1 3 9 8 0 7 7 0 8 9 3
Tableau modulo 10 :
x0123456789
2x20288202820
4 est solution de 2x2 + 1 ≡ 0 (11), mais pas de
2x2 ≡ 0 (10). On aurait pu choisir 7.
Proposition 3 : Faux. Contre-exemple : si x = 2, alors
x2 + x = 6, donc x est solution de l’équation. Mais x
n’est pas congru à 0 modulo 3.
Proposition 4 : Vrai.
M = 100a + 10b + c et N = 100b + 10c + a.
Comme M ≡ 0 (27), –100a – 10b ≡ c (27).
Par conséquent, 10c ≡ –1000a –100b (27),
ce qui donne N ≡ 100b – 1000a – 100b + a (27).
Ainsi, N ≡ – 999a (27). Comme 999 est un multiple
de 27, le nombre 999a est congru à 0 modulo 27.
Finalement, N ≡ 0 (27).
Comme M et N sont multiples de 27, M – N est divi-
sible par 27.
Proposition 5 : Faux.
Contre-exemple : si a = 1 et b = 8, alors a2 ≡ 1 (9)
et b2 ≡ 1 (9). Ainsi, a2 ≡ b2 (9).
Par contre, a – b ≡ –1 (3), donc a n’est pas congru
à b modulo 3.
Proposition 6 : Faux. Contre-exemple pour n = 4 :
4 ! + 1 = 25 n’est pas premier.
Exercice
1. a.
Chiffre
unités n0123456789
Chiffre
unités n20149656941
Comme le chiffre des unités de n2 est 6, le chiffre
des unités de n est 4 ou 6.
b. Dire que le chiffre des unités de n est 4 revient
à dire que n ≡ 4 (10) ou qu’il existe k entier rela-
tif tel que n = 10k + 4.
De même, dire que le chiffre des unités de n
est 6 revient à dire que n ≡ 6 (10) ou que
n ≡ −4 (10) ou qu’il existe un entier relatif k tel
que n = 10k – 4.
c. Si le chiffre des unités de n2 est 4, alors, d’après
les questions précédentes, il existe un entier rela-
tif k tel que n = 10k + 4 ou n = 10k – 4. Dans le
premier cas, n2 + 4 = (10k + 4)2 + 4, ce qui donne
n2 + 4 = 100k2 + 80k + 20. Comme chaque terme
est multiple de 20, n2 + 4 est multiple de 20.
Dans le deuxième cas, un calcul similaire donne
n2 + 4 = 100k2 – 80k + 20. Ainsi, n2 + 4 est multi-
ple de 20.
Finalement, on a bien prouvé que, si le chiffre des
unités de n2 est 4, alors n2 + 4 est multiple de 20.
Réciproquement, supposons que n2 + 4 est multiple
de 20. On peut alors affirmer que n2 + 4 ≡ 0 (20).
Tableau modulo 20 :
n0123456789
n2 + 4 4 5 8 13 0 9 0 13 8 5
n10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
n2 + 4 4 5 8 13 0 9 0 13 8 5
D’après le tableau ci-dessus, on doit avoir n = 4 + 10k
ou n = 6 + 10k avec k entier relatif, ce qui implique
que l’écriture décimale de n2 se termine par 6.

3
CHAPITRE 1 ● Divisibilité dans ℤ, congruences
2. a. On sait que 10 ≡ 1 (9), donc, pour tout n supé-
rieur ou égal à 2, 10n ≡ 1 (9). On en déduit que
10
n
– 1 ≡ 0 (9). Ainsi, il existe k entier relatif tel que
10n – 1 = 9k. On en déduit que
10 1
9
n
k
–=
, et donc
Rn = 6k est un entier.
10 1
9
10 1
10 1 10
0
1
n n k
k
n
–=–
–=
=
−
∑
, donc
10 1
9
n–
est un
entier qui s’écrit avec n chiffres 1. On en déduit
que Rn est un nombre qui s’écrit avec n chiffres 6
(R2 = 66, R3 = 666…).
b. R2 = 6 ×11, donc R2 ≡ 6 (20).
Pour k ⩾ 2, 10k = 100, donc 10k ≡ 0 (20).
Ainsi, pour tout n ⩾ 2,
10 11
0
1
k
k
n
=
–
∑
(20).
On en déduit que, Rn ≡ 66 (20), et donc Rn ≡ 6 (20).
Le reste dans la division de Rn par 20 est donc égal
à 6 car 0 ⩽ 6 < 20.
c. Supposons qu’il existe un entier relatif m tel
que Rn = m2 ; alors m2 + 4 ≡ 10 (20). On en déduit,
d’après 1. c., que le chiffre des unités de m2 n’est
pas égal à 6. Ceci est absurde puisque, quel que
soit n ⩾ 2, Rn a pour chiffre des unités 6. Aucun
des Rn n’est donc un carré.
ÉPREUVE PRATIQUE
1. a. et b.
Fichiers associés : prbac_EP_cs1.xls (Excel), prbac_EP_
cs1.ods (OpenOffice) et prbac cs1.tns (TI-Nspire).
Procédure Excel ou OpenOffice
En colonne 1, sur la ligne 2, on écrit n. Puis, dans
les autres colonnes, on fait afficher les nombres
entiers 1, 2… (correspondant au numéro de l’étape
de l’algorithme) : pour cela, on saisit 1 en B2, puis
2 en B3 ; on sélectionne alors les deux cellules et
on recopie vers la droite.
En A3, on écrit 1 ; en A4, on écrit 2 ; puis on
sélectionne les deux cellules et on recopie vers
le bas.
En B3, on saisit =SI(MOD(A3 ;2)=0 ;A3/2 ;3*A3+1) ;
on recopie vers la droite et vers le bas.
Remarque : pour visualiser rapidement la der-
nière étape, on peut imbriquer deux SI, comme
ci-dessous :
=SI(OU(A3=1 ; A3 = ″Fin″) ; ″Fin″ ; SI(MOD(A3 ;2)=0 ;
A3/2 ;3*A3+1))
Ainsi, dès que l’on a 1 dans la cellule précédente,
le tableur affiche Fin. On peut également lui faire
afficher un vide avec ″″ .
Procédure TI-Nspire
Les pages 1 à 4 contiennent respectivement les sui-
tes de Syracuse des nombres de 1 à 25, de 26 à 50,
de 51 à 75, de 76 à 100.
La page 5 à 7 contiennent respectivement les sui-
tes de Syracuse des nombres de la forme 2p, 8k + 4
et 8k + 5 (questions 2. a. et 2. b.).
Dans la première page, on a placé les nombres de
1 à 25 sur la première ligne.
On a tapé la formule suivante en A2, qu’on a « reco-
piée » de B2 à Y120 :
Pour obtenir la deuxième page, on a copié la pre-
mière page et on a remplacé 1 par 26 dans la cel-
lule A1. La page s’est alors mise à jour.
On a opéré de même pour les pages 3 et 4.
c. L(26) = 11 ; L(27) = 112 (attention, vu la numéro-
tation, il faut ajouter 1 au numéro de l’étape)
2. a. On conjecture que, pout tout p entier natu-
rel non nul, L(2p) = p + 1.
Posons u
0
= n et u
k
= valeur obtenue après k appli-
cations de l’algorithme pour k > 0. Si u0 = 2p avec
p > 0, alors u1 = 2p – 1 et, pour tout k entier tel
que 0 < k ⩽ p, uk = 2p – k. Par ailleurs, si k = p, on a
uk = 1. La longueur L(2p) est donc égale à p + 1.
b. On conjecture que, pout tout k entier naturel
non nul, L(8k + 4) = L(8k + 5) et qu’à partir de la
ligne 4, pour une même valeur de k, les suites de
Syracuse de 8k + 4 et 8k + 5 sont identiques.
c. Considérons deux suites de Syracuse (up) et
(vp).
Prouvons d’abord que, si u0 = 8k + 4 et v0 = 8k + 5
avec k ∈ ℕ*, alors u3 = v3.
On a u1 = 4k + 2 et u2 = 2k + 1,
donc u3 = 3(2k + 1) + 1 = 6k + 4.
Par ailleurs, v1 = 3(8k + 5) + 1 = 24k + 16 donc
v2 = 12k + 8 et v3 = 6k + 4.
Ainsi, on a bien u3 = v3, et par conséquent, à partir
de l’indice 3, les deux suites de Syracuse sont éga-
les. Leur longueur est donc la même.
3. Appelons (uk) la suite des nombres de Syracuse
et posons u0 = n. Si le reste dans la division eucli-
dienne de n par 4 est
• 0 ou 2, alors n est divisible par 2, donc u1 =
n
2
.
On a bien u1 < n.
• 1, alors n = 4p + 1 avec p entier naturel. Comme
n est impair, u1 = 3(4p + 1) + 1 = 12p + 4.
On a alors u2 = 6p + 2, puis u3 = 3p + 1.
Comme 3 < 4 et p > 0, on en déduit que
u3 < n.

Chapitre 1 Spécialité Les TICE
Les exemples
Fichiers associés :
Division euclidienne : fichiers calculatrices
CS1DIVEU.8xp (fichier TI) et TiceDivEuclidien-
neExemple.CAT (fichier Casio).
Chiffres extraits : fichiers calculatrices CS1CHIF1.8xp
(fichier TI) et TiceChiffreExempleCasio.CAT (fichier
Casio).
Fichiers tableurs : tice_exemple_cs1.ods (OpenOf-
fice), tice_exemple_cs1.xls (Excel) et fichier tice cs1.
tns (TI-Nspire).
Division euclidienne
Casio
Le ? et le se trouvent dans SHIFT VARS (PRGM).
Intg est accessible par OPTN puis Num.
TI
La flèche vers la droite s’obtient avec la touche
STO
Extraire les chiffres d’un nombre entier naturel
Casio
TI
Applications
Fichiers associés :
Fichiers calculatrices : CS1CHIF2.8xp et CS1FACT.8xp
(fichiers TI) et TiceAppli1Casio.CAT et TiceAppli-
2Casio.CAT (fichiers Casio).
Fichiers tableurs : tice_appl_cs1.ods (OpenOffice),
tice_appl_cs1.xls (Excel) et fichier tice cs1.tns (TI-
Nspire).
a. Il suffit de remplacer 3 par 4 dans l’algorithme
de l’exemple. On obtient :
Casio
TI
b. On peut commencer par chercher le nombre de
milliers, puis trouver son chiffre des unités.
Dans les programmes proposés, on appelle M le
nombre de milliers, et C le chiffre des milliers.
Casio
TI
c. le nombre de dizaines d’un nombre N est la par-
tie entière de
N
10
.
Procédure OpenOffice ou Excel
Fichiers tice_appl_cs1.ods (OpenOffice) et tice_
appl_cs1.xls (Excel)
N! s’obtient en tapant =Fact(N).
Dans la colonne A, on fait afficher les valeurs de n.
Dans la colonne B, on fait afficher n !. En B2, on
saisit =FACT(A2), puis on recopie vers le bas.
En C2, on saisit =ENT(B2/10)
En D2, on saisit = ENT(B2/100)
Procédure TI-Nspire
Fichier tice cs1.tns
En pages 1 & 2, situations décrites dans l’exem-
ple de la page
En page 3, résolution de l’application a
En page 4, résolution de l’application c.
Dans la page 4, on a placé les chiffres des unités,
dizaines, centaines et milliers en colonne B à E
(non demandés dans la question) et les nombres de
dizaines et de centaines en colonnes F et G. Pour
obtenir 4!, on tape directement 4! Au clavier de
l’ordinateur ou on va chercher ! dans la mémoire
de symboles.
Remplacer ENT par int.
CHAPITRE 1 ● Divisibilité dans ℤ, congruences
4