TD M1-M2 : cinématique, PFD, chutes - e

Mécanique
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TD M1-M2 : cinématique, PFD, chutes
Exercice 10 - Tir balistique avec frottements de l’air ***(*)
On considère un canon qui tire un boulet de masse m = 15 kg avec une vitesse initiale de 250 m.s−1
et un angle de 35◦ . Malgré sa vitesse élevée, le boulet subit une force de frottement linéaire dont
le coefficient de frottement est k = 1,2 kg.s−1 .
On considère que le boulet est tiré d’une altitude nulle et qu’il retombe à la même altitude.
Question
Après avoir étudier théoriquement le problème (obtention des équations du mouvement), utiliser
la calculatrice pour obtenir la portée atteinte par ce boulet. La comparer à la portée qui aurait
été atteinte sans frottement.
Indication
Soit une équation du type a x + b exp (x) + c = 0. Pour résoudre celle-ci, on définit deux fonctions, par exemple
f (x) = a x + c et g(x) = b exp (x), et on cherche leur point d’intersection (à la calculatrice par exemple).
Solution
Le système est le boulet de canon, on étudie son mouvement dans un référentiel terrestre, lié au
sol au niveau du canon, un référentiel considéré galiléen le temps du trajet du boulet.
Les forces qui s’exerce sur celui-ci sont son poids, force verticale vers le bas, et la force de
frottement fluide linéaire de même direction que la vitesse mais de sens opposé.
Le PFD donne :
m
−
−
→
−
d→
v
d→
v
v
−
−
−
= m→
g −k→
v ⇐⇒
+
=→
g
dt
dt
τ
(1)
La solution de cette équation est la somme de la solution de l’équation homogène et de la
solution particulière. On obtient :
→
−
t
→
−
v = A exp −
τ
+gτ
(2)
−
−
Or à t = 0, →
v =→
v0 :
t
→
−
−
−
v = (→
v0 − →
g τ ) exp −
τ
t
−
−
−
+→
g τ ⇐⇒ →
v =→
v0 exp −
τ
−
+→
g τ
t
1 − exp −
τ
(3)
−
On choisit à présent une base cartésienne yOz pour projeter la solution →
v (t) ci-dessus :






t
−
−
Sur Oy : vy = →
v ·→
uy = v0 cos α exp −
τ





t
−
−
Sur Oz : vz = →
v ·→
uz = v0 sin α exp −
τ
(4)
−gτ
t
1 − exp −
τ
En intégrant les relations ci-dessus, on a accès à la position :






t
y = −τ v0 cos α exp −
τ





t
z = −τ v0 sin α exp −
τ
+ cste1
(5)
1
t
− g τ t − g τ 2 exp −
τ
+ cste2
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Or à t = 0, y(t = 0) = 0 et z(t = 0) = 0 donc :



cste1 = τ v0 cos α


cste2 = τ v0 sin α + g τ 2
(6)
Finalement :
t
y(t) = τ v0 cos α 1 − exp −
τ
t
z(t) = τ v0 sin α 1 − exp −

τ
























+gτ
= (τ v0 sin α + g τ 2 ) 1 − exp −
t
τ
2
t
1 − exp −
τ
−gτ t
(7)
−gτ t
On cherche à résoudre l’équation z(t) = 0 pour connaître l’instant où le canon rencontre le sol.
Connaissant toutes les données intervenant dans l’expression de z(t) on arrive à l’équation :
3325,2 − 3325,2 exp (−0,08 t) − 122,6 t = 0
(8)
Pour résoudre cette équation, on pose f (t) = −3325,2 + 122,6 t et g(t) = −3325,2 exp(−0.08 t)
et on cherche le point d’intersection de ces deux courbes. On trouve t = 22,7 s ce qui correspond
au temps de vol du boulet.
On remplace alors ce t dans l’expression de y(t) pour obtenir la portée avec frottements :
ymax = 12,5 × 250 × cos 35 × (1 − exp(−0.08 t)) = 2143 m
(9)
Sans frottement, la portée aurait valu :
ymax =
v02 sin α
= 5987 m
g
2
(10)