Corrigé de la séance 10

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE
U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 – 2015
L1 Économie Cours de M. Desgraupes
Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques
Séance 10 : Fonctions usuelles
Corrigé ex. 1 : Domaine de définition
La fonction y= log(2−√x)est définie à condition que x≥0(à cause de la racine
carrée) et que √x < 2(à cause du logarithme).
On trouve finalement le domaine de définition suivant :
Df= [0,4[
Corrigé ex. 2 : Dérivée
On considère la fonction f(x) = log (x2+ 1)(x−1).
On applique la formule de dérivation du logarithme log(u)0=u0
u.
On a ici u(x)=(x2+ 1)(x−1) = x3−x2+x−1, d’où f0(x)=3x2−2x+ 1
et finalement
f0(x) = 3x2−2x+ 1
(x2+ 1)(x−1)
Corrigé ex. 3 : Limite
Pour calculer la limite lim
x→0exp −1
x, on doit distinguer selon que xtend vers 0
par la gauche ou par la droite.
Lorsque x→0+, alors 1
xtend vers +∞et la limite est celle de e−xen +∞,
c’est-à-dire 0+.
Lorsque x→0−, alors 1
xtend vers −∞ et la limite est celle de e−xen −∞,
c’est-à-dire +∞.
Corrigé ex. 4 : Dérivée d’une fonction puissance
Par définition, la fonction s’écrit :
f(x)=2x=exlog(2)
On en déduit la dérivée :
f0(x) = log(2) ×exlog(2) = log(2) ×2x

Corrigé ex. 5 : Limites indéterminées
5-1) On procède par équivalents :
lim
x→+∞
1
x×log(x4+x2+ 1) = lim
x→+∞
1
x×log(x4) = lim
x→+∞4log(x)
x= 0
car le monôme xl’emporte sur le logarithme.
5-2) lim
x→0xlog(x)
On a ici une forme indéterminée de la forme 0×−∞, mais le monôme xl’emporte
sur le logarithme et la limite est finalement 0.
5-3) Par équivalents, on a :
lim
x→+∞
1
x×log(2x+x) = lim
x→+∞
1
x×log(2x) = lim
x→+∞
1
x×xlog(2) = log(2)
5-4) Encore par équivalents :
lim
x→+∞
log(x2+ 1)
log x= lim
x→+∞
log(x2)
log x= lim
x→+∞
2 log(x)
log x= 2
Corrigé ex. 6 : Composée de fonctions homographiques
Monter que la composée de deux fonctions homographiques est homographique.
On considère deux fonctions homographiques
f(x) = ax +b
cx +det g(x) = px +q rx +s
Calculons la composée f◦g:
(f◦g)(x) = fg(x)
=a g(x) + b
c g(x) + d
=
apx +q
rx +s+b
cpx +q
rx +s+d
=a(px +q) + b(rx +s)
c(px +q) + d(rx +s)
=(ap +br)x+aq +bs
(cp +dr)x+cq +ds
Cette dernière expression est bien de la forme Ax +B
Cx +Dqui caractérise les fonctions
homographiques.
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Corrigé ex. 7 : Points fixes
7-1) On considère la fonction homographique f(x) = 3x−8
x−3.
Sa dérivée est f0(x) = −1
(x−3)2.
Représentation graphique :
f(x)=
3x −8
x−3
0
7-2) Pour trouver les points fixes, il faut résoudre l’équation f(x) = x.
On en déduit
3x−8
x−3=x⇒3x−8 = x(x−3) ⇔x2−6x+ 8 = 0
Ce dernier polynôme se factorise en
x2−6x+ 8 = (x−2)(x−4)
Il y a donc deux racines qui sont x= 2 et x= 4 (les points sont représentés en noir sur
le graphique).
Corrigé ex. 8 : Théorème des gendarmes
8-1) On considère la fonction f(x) = tan(x).
Sa dérivée est f0(x) = 1
cos2(x)qui est toujours positive (pour les xqui n’annulent
pas le cosinus).
La dérivée en 0 vaut f0(0) = 1. En l’origine, la fonction tan(x)est tangente à la
première bissectrice (de pente 1) et, pour les valeurs positives de x, se situe au-dessus
d’elle comme on peut le voir sur le graphique suivant :
3

0.0 0.5 1.0 1.5
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
y=tan(x)
y=x
On en déduit donc la relation 0≤x≤tan(x)pour tout x∈[0,π
2[.
8-2) De la même manière que précédemment, on montre que la courbe du sinus
sur l’intervalle [0,π
2[se trouve sous la première bissectrice. On a donc :
0≤sin(x)≤x
8-3) Sur l’intervalle [0,π
2[, le sinus et le cosinus sont positifs. En utilisant les en-
cadrements trouvés aux deux questions précédentes et la définition tan(x) = sin(x)
cos(x),
on obtient :
cos(x)≤sin(x)
x≤1
8-4) On applique le théorème des gendarmes à l’encadrement précédent en fai-
sant tendre xvers 0+. Le cosinus tend vers 1 et la fonction sin(x)/x est donc “prise en
sandwich” entre le cosinus qui tend vers 1 et la borne supérieure 1.
On en déduit que
lim
x→0+
sin(x)
x= 1
La fonction sinus étant impaire, le résultat reste vrai si x→0−. On énonce ce
résultat en disant que la fonction sinus est équivalente à xau voisinage de 0.
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Corrigé ex. 9 : Périodes
On dit qu’une fonction fa pour période Tsi f(x+T) = f(x)pour tout x. La
période est le plus petit Tnon nul qui vérifie cette relation.
Le sinus et le cosinus étant de période 2π, on voit facilement que la fonction
f(x) = cos(2x)a pour période πet la fonction f(x) = sin(3x)a pour période 2π
3.
Par exemple :
f(x+π) = cos 2(x+π)= cos(2x+ 2π) = cos(2x) = f(x)
C’est la plus petite valeur possible.
La tangente étant de période π, on voit de même que la fonction f(x) = tan(4x)a
pour période π
4.
Corrigé ex. 10 :
Les formules de l’angle double
(cos(2x) = cos2(x)−sin2(x)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
peuvent s’écrire (en remplaçant xpar x/2) sous la forme :
(cos(x) = cos2(x/2) −sin2(x/2)
sin(x) = 2 sin(x/2) cos(x/2)
On pose t= tan(x/2) = sin(x/2)
cos(x/2). Calculons 1−t2et 1 + t2:
1−t2= 1 −sin2(x/2)
cos2(x/2) =cos2(x/2) −sin2(x/2) cos2(x/2) =cos(x) cos2(x/2)
1 + t2= 1 + sin2(x/2)
cos2(x/2) =cos2(x/2) + sin2(x/2) cos2(x/2) =1 cos2(x/2)
En faisant les quotients membre à membre, on obtient :
1−t2
1 + t2= cos(x)
Calculons maintenant le quotient :
2t
1 + t2=
2sin(x/2)
cos(x/2)
1
cos2(x/2)
= 2 sin(x/2) cos(x/2) = sin(x)
En faisant le quotient des deux formules obtenues, on trouve :
tan(x) = sin(x)
cos(x)=
2t
1 + t2
1−t2
1 + t2
=2t
1−t2
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