Exercice n°114 page 128

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Jeudi 28 Février 2013
DM de Maths
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Exercice n°114 page 128
1) a) Voir papier millimétré
1) b) D’après la représentation graphique des premiers termes de la suite (un), on
peut conjecturer qu’elle est décroissante sur lN. De plus, quand n tend vers +∞,
elle semble tendre vers une limite finie : elle converge alors vers 1.
2) a) Démontrons, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier
naturel n, on a௡ െ ͳ ൐ Ͳ.
Soit P(n), la propriété selon laquelle, pour tout entier naturel n, ௡ െ ͳ ൐ Ͳ ou
encore ଴ ൐ ͳ.
(1) Initialisation
Vérifions que P(0) est vraie.
On sait que ଴ ൌ ͷ, alors ଴ ൐ ͳ soit ଴ െ ͳ ൐ Ͳ
La propriété est donc vraie au rang 0.
(2) Hérédité
Supposons que, pour l’entier k, la propriété P(k) soit vraie, c'est-à-dire,
௞ െ ͳ ൐ Ͳ ou encore ௞ ൐ ͳǤ
Montrons que P(k+1) est vraie, soit ௞ାଵ ൐ ͳ.
Par hypothèse de récurrence, ௞ ൐ ͳ.
Sachant que, pour tout entier naturel n, la suite (un) est définie par ௞ାଵ ൌ ௞ ,
on cherche à déterminer le sens de variation de f sur [0 ; +∞ [.
Etude de variation de f :
ସ௫ିଵ
Soit ൌ ௫ାଶ Ǥ f est une fonction dérivable comme quotient de deux fonctions
௨
௨ᇲ௩ି௨௩ᇱ
dérivables. f est du type ௩ de dérivée
௩మ avec :
ሺሻ ൌ Ͷ െ ͳ et ᇱ ሺሻ ൌ Ͷ
ሺሻ ൌ ൅ ʹ et ᇱ ሺሻ ൌ ͳ
D’où, Ԣ ൌ
ସሺሻ
ሺሻ ൌ ൌ ;
,
soit
మ
ሺሻ;
ሺሻ;
Le numérateur 9 et le dénominateur (x+2)² étant un carré sont clairement
positifs : donc, sur ]-2 ; +∞[, ൒ Ͳ; on en déduit que sur l’intervalle [0 ;+∞[ ,
la fonction f est alors strictement croissante.
*Ainsi, par stricte croissance de f sur [0 ; +∞ [, on peut écrire que :
ሺ ሻ ൐ ሺͳሻ
Or, ͳ ൌ
ൈ
ൌͳ
Par définition de la suite (un), on a ൌ .
On obtient, ainsi, ൐ ͳ.
Donc, P(k+1) est vraie.
(3) Conclusion
P(0) est vraie
P(k) vraie entraine P(k+1) vraie
D’après le principe de récurrence, pour
tout entier naturel n, P(n) est vraie, c'està-dire ௡ െ ͳ ൐ Ͳ.
2) b)
* Démontrons la conjecture, émises à la 1) b), selon laquelle la suite (un), définie
par récurrence, est décroissante, à l’aide du raisonnement par récurrence
suivant.
Soit P(n), la propriété selon laquelle, pour tout entier n ≥ 0, ൑ .
(1) Initialisation
Vérifions que P(0) est vraie.
ൈ
On sait que ൌ బ ൌ . Or, ൌ ͷ ; d’où, ൌ ൏ .
బ
D’où, P(0) est vraie.
(2) Hérédité
Supposons que, pour tout entier k, la propriété P(k) soit vraie, c’est-à-dire
൑ .
Montrons que P(k+1) est vraie, soit ൑ .
Par hypothèse de récurrence, on a : ൑ .
Sur lN où elle définie, la suite (un) a pour minimum 1. De là, par stricte croissance
de f sur [1 ; +∞ [, il vient :
ሺ ሻ ൑ ሺ ሻ
D’où, Par conséquent, P(k+1) est vraie.
൑ (3) Conclusion
P(0) est vraie
P(k) vraie entraine P(k+1) vraie
D’après le principe de récurrence, pour
tout entier naturel n, P(n) est vraie, c'està-dire ൑ .
On en conclut que, pour tout naturel n, la suite (un) est strictement décroissante.
* Ensuite, prouvons la convergence de la suite (un) vers 1.
Comme (un) est décroissante (d’après ce qui précède) et minorée par 1, elle
converge vers une limite notée .
Autrement dit, pour tout n, comme ͳ ൑ (démontré à la question 2) a)), alors
ͳ ൑ et ൑ .
Aussi, de ൑ , par stricte croissance de f, on en déduit que
ሺሻ ൑ ሺ ሻ c’est à dire, ൑ . Donc, quand n tend vers +∞, (un+1) tend
vers .
Aussi, par application du théorème de comparaison, sur ൑ , on peut dire
que quand n tend vers +∞, (un+1) tend aussi vers , la limite de (un).
Toutefois, l’unicité de la limite de (un) nous permet d’exprimer de cette
manière : ൌ
൅ ʹ ൌ Ͷ െ ͳ; ൅ ʹ െ Ͷ ൅ ͳ ൌ Ͳ ; െ ʹ ൅ ͳ ൌ Ͳ.
Cela conduit à l’équation produit nul ሺ െ ͳሻ; ൌ Ͳ dont l’unique solution est
clairement ൌ ͳǤ
On en conclut que (un) converge bien vers 1.
3) a) Soit, pour tout nombre entier naturel n, ൌ
Ǥ
೙ Prouvons que la suite (vn) est arithmétique de raison .
Pour cela, calculons la différence െ .
ൌ
ͳ
െ ͳ
Or, par définition de (un), on sait que : ൌ ሺ
ሻ.
೙
Donc :
ൌ
ൌ
ͳ
Ͷ െ ͳ
െͳ
൅ ʹ
ͳ
Ͷ െ ͳ െ ሺ ൅ ʹሻ
൅ ʹ
ൌ
ൌ
ͳ
͵ െ ͵
൅ ʹ
൅ ʹ
͵ െ ͵
ሺ
ሻ
D’où, െ ൌ ೙ െ െ ൌ ೙ ሺ
೙ ሻ െ ሺ
ሻሺ೙
ሻ
೙
೙
೙
೙
೙
೙
െ ൌ
೙ ሺ
೙ ሻሺ
೙ ሻ
೙ మ ೙ ೙ ೙ െ
ൌ
೙ ሺ
೙ ሻ
೙ ሺ
೙ ሻ
మ ሺ
ሻ;
೙
െ ൌ ೙ ሺ
೙ ሻ െ ൌ ሺ
೙ ሻ
೙
೙
೙
೙
೙
Donc, െ ൌ ೙ ൌ ሺ
೙ ሻ .
Ainsi, pour tout naturel n, comme െ ൌ (constante) alors (vn) est
effectivement une suite arithmétique de raison .
3) b)
*D’abord, exprimons vn en fonction de n.
Son premier terme étant v0, la suite (vn), arithmétique de raison r, peut s’écrire
sous la forme explicite suivante : ൌ ൅ Or, d’une part, on sait que ൌ
et d’autre part, ൌ
ൌ
ൌ
బ Donc, ൌ ൅ *Ensuite, exprimons un en fonction de n.
Sachant que, pour tout naturel n, ൌ , on obtient :
೙
െ ͳ ൌ
ͳ
Et, puisque ൌ ൅ , on a : ൌ భ భ ൅ ͳ
ర య
ൌ
ͳ
൅ͳ
͵ ൅ Ͷ
ͳʹ
ൌ
൅ ͳ ൌ
soit ൌ
3)c) On détermine, maintenant, la limite de la suite (un).
ൌ
Ͷ ൅ ͳͷ
Ǥ
Ͷ ൅ ͵
Quand n tend vers +∞, numérateur Ͷ ൅ ͳͷ et dénominateur Ͷ ൅ ͵ tendent
tous deux vers +∞ : sous cette forme, la limite de (un) est donc indéterminée.
Levons-cette indétermination, en posant :
ͳͷ
ሻ
ൌ
͵
ሺͶ ൅ ሻ
ሺͶ ൅
D’où,
ͳͷ
ൌ
͵
Ͷ൅
Ͷ൅
Comme Ž‹՜ ൌ Ͳ et Ž‹՜ ൌ Ͳ , alors, par opération sur les limites, on
obtient Ž‹՜ Ͷ ൅
ൌ Ͷ et Ž‹՜ Ͷ ൅ ൌ Ͷ. Ainsi, Ž‹՜ ൌ Ž‹ ൌ ͳǤ
՜
Par conséquent, la limite de la suite (un) est 1.
Exercice 82 page 427
La loi du pourboire de Max
Partie A
La variable aléatoire continue X, qui donne le prix du repas de Max un jour pris
au hasard, suit la loi uniforme U[10 ;35], de densité ൌ
ൌ . D’où :
a) Calculons ൏ ͳ͹ǡͷͲ ൌ
൏ ͳ͹ǡͷͲ ൌ
ൌ Ͳǡ͵.
Alors, la probabilité, qu’un jour, Max dépense moins de 17,50 euros est Ͳǡ͵.
b) Par application de la loi uniforme, définie sur [10 ; 35], l’on peut écrire cela :
ͳͻ ൑ ൑ ʹ͹ ൌ ͳͻ ൑ ൑ ʹ͹ ൌ ൌ Ͳǡ͵ʹ .
Alors, la probabilité, qu’un jour, la note de Max soit comprise entre 19 et 27
euros est Ͳǡ͵ʹ .
Partie B
1) Modélisant le montant du pourboire donné par Marx au serveur, la variable
aléatoire Y prend ses valeurs dans l’intervalle] 0 ; 5].
2) Si le montant de la note est compris entre 19 et 27 euros, alors X dont la loi
est uniforme, prend ses valeurs dans [19 ; 27].
a) Calculons ൑ ͳ:
൑ ͳ ൌ ͳͻ ൑ ൑ ʹͲʹͶ ൑ ൑ ʹͷ
൑ ͳ ൌ ͳͻ ൑ ൑ ʹͲሻ ൅ ሺʹͶ ൑ ൑ ʹͷ
൑ ͳ ൌ
ʹͲ െ ͳͻ ʹͷ െ ʹͶ
൅
ʹ͹ െ ͳͻ ʹ͹ െ ͳͻ
൑ ͳ ൌ
ͳ ͳ
൅
ͺ ͺ
൑ ͳ ൌ
ͳ
Ͷ
Ainsi, la probabilité que le pourboire laissé par Max ne dépasse pas 1 euros est
Ͳǡʹͷ.
b) Calculons ൑ ʹǣ
൑ ʹ ൌ ͳͻ ൑ ൑ ʹͲʹ͵ ൑ ൑ ʹͷ
൑ ʹ ൌ ͳͻ ൑ ൑ ʹͲሻ ൅ ሺʹ͵ ൑ ൑ ʹͷ
൑ ʹ ൌ
ͳ ʹͷ െ ʹ͵
൅
ͺ
ͺ
൑ ʹ ൌ ൅ ൑ ʹ ൌ
Donc, la probabilité que le pourboire laissé par Max ne dépasse pas 2 euros est
Ͳǡ͵͹ͷ.
c) Calculons ൐ ͵Ǥ
൐ ͵ ൌ ʹͲ ൑ ൏ ʹʹʹͷ ൑ ൏ ʹ͹
൐ ͵ ൌ ʹͲ ൑ ൏ ʹʹሻ ൅ ሺʹͷ ൑ ൏ ʹ͹
൐ ͵ ൌ
ʹʹ െ ʹͲ ʹͷ െ ʹ͹
൅
ͺ
ͺ
൐ ͵ ൌ ൅ ൐ ͵ ൌ
Donc, la probabilité que le pourboire laissé par Max dépasse 3 euros est Ͳǡͷ.
d) Calculons ൐ Ͷ
൐ Ͷ ൌ ʹͲ ൑ ൏ ʹͳʹͷ ൑ ൏ ʹ͸
൐ Ͷ ൌ ʹͲ ൑ ൏ ʹͳሻ ൅ ሺʹͷ ൑ ൏ ʹ͸
൐ Ͷ ൌ
ʹʹ െ ʹͳ ʹͷ െ ʹ͸
൅
ͺ
ͺ
൐ Ͷ ൌ ൅ ൐ Ͷ ൌ
Donc, la probabilité que le pourboire laissé par Max dépasse 4 euros est Ͳǡʹͷ.
3) Si X suit à nouveau la loi uniforme sur [10 ; 35], on a alors :
a) Calculons ൑ ʹǤ
൑ ʹ ൌ ͳ͵ ൑ ൏ ͳͷͳͺ ൑ ൏ ʹͲʹ͵ ൑ ൏ ʹͷʹͺ ൑ ൏ ͵Ͳ͵͵ ൑ ൏ ͵ͷ
൑ ʹ ൌ ͳ͵ ൑ ൏ ͳͷሻ ൅ ͳͺ ൑ ൏ ʹͲ ൅ ʹ͵ ൑ ൏ ʹͷ ൅ ʹͺ ൑ ൏ ͵Ͳ ൅ ሺ͵͵
൑ ൏ ͵ͷ
൑ ʹ ൌ ͷ ʹ
ʹ
ൌ
ͷ
ʹͷ
Ainsi, la probabilité que le pourboire laissé par Max soit inférieur ou égal à 2
euros est ͲǡͶ.
c)
*Déterminons, de même, ൑ ǡ pour tout ‫א‬ሿͲǢ ͷሿǤ
Selon la loi uniforme U[10 ; 37] de X, on a : ൑ ൌ ͳͷ െ ൑ ൏ ͳͷʹͲ െ
൑ ൏ ʹͲʹͷ െ ൑ ൏ ʹͷ͵Ͳ െ ൑ ൏ ͵Ͳ͵ͷ െ ൑ ൏ ͵ͷ
Soit, ൑ ൌ ͳͷ െ ൑ ൏ ͳͷሻ ൅ ʹͲ െ ൑ ൏ ʹͲ ൅ ʹͷ െ ൑ ൏ ʹͷ ൅
͵Ͳ െ ൑ ൏ ͵Ͳ ൅ ሺ͵ͷ െ ൑ ൏ ͵ͷ
൑ ൌ ͷ ൌ * Dans le cas où ൌ Ͳ, on se retrouve avec :
൑ Ͳ ൌ ሺ ൌ Ͳሻ
Or, pour une loi continue, la probabilité d’un réel est toujours nulle, d’où :
ൌ Ͳ ൌ Ͳ.
Ainsi, pour tout réel tel que Ͳ ൑ ൑ ͷǡc'est-à-dire sur l’intervalle borné [0 ; 5] ,
൑ ൌ : Y suit donc une loi de densité constante Ǥ
* En outre, montrer que la variable aléatoire Y suit une loi uniforme sur [0; 5],
revient à montrer que, pour tous réels de [a ;b] avec a ≤ b , ൑ ൑ ൌ
Dès lors, déterminons ൑ ൑ sur [0 ;5].
൑ ൑ ൌ Ͳ ൑ ൑ െ Ͳ ൑ ൏ Or, Ͳ ൑ ൑ ൌ et Ͳ ൑ ൏ ൌ Donc, ൑ ൑ ൌ െ ൌ .
C’est un autre critère de définition de la loi uniforme. On en déduit que la
variable aléatoire Y suit, en effet, une loi uniforme, notée U[0 ;5].
͘
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