Exercice n°114 page 128

Jeudi 28 Février 2013
DM de Maths
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Exercice n°114 page 128
1) a) Voir papier millimétré
1) b) D’après la représentation graphique des premiers termes de la suite (u ), on
peut conjecturer qu’elle est décroissante sur lN. De plus, quand n tend vers +∞,
elle semble tendre vers une limite finie : elle converge alors vers 1.
2) a) Démontrons, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier
naturel n, on a െ ͳ ൐ Ͳ.
Soit P(n), la propriété selon laquelle, pour tout entier naturel n, െ ͳ ൐ Ͳ ou
encore ൐ ͳ.
(1) Initialisation
Vérifions que P(0) est vraie.
On sait que ൌ ͷ, alors ൐ ͳ soit െ ͳ ൐ Ͳ
La propriété est donc vraie au rang 0.
(2) Hérédité
Supposons que, pour l’entier k, la propriété P(k) soit vraie, c'est-à-dire,
െ ͳ ൐ Ͳ ou encore ൐ ͳǤ
Montrons que P(k+1) est vraie, soit ൐ ͳ.

Par hypothèse de récurrence, ൐ ͳ.
Sachant que, pour tout entier naturel n, la suite (u ) est définie par ൌ,
on cherche à déterminer le sens de variation de f sur [0 ; +∞ [.
Etude de variation de f :
Soit ൌ Ǥ f est une fonction dérivable comme quotient de deux fonctions
dérivables. f est du type de dérivée avec :
ሺሻ ൌ Ͷെ ͳ et ሺሻ ൌ Ͷ
ሺሻ ൌ ൅ ʹ et ሺሻ ൌ ͳ
D’où, Ԣൌ , soit ሺሻ ൌ ൌ ;
Le numérateur 9 et le dénominateur (x+2)² étant un carré sont clairement
positifs : donc, sur ]-2 ; +∞[,  ൒ Ͳ; on en déduit que sur l’intervalle [0 ;+∞[ ,
la fonction f est alors strictement croissante.
*Ainsi, par stricte croissance de f sur [0 ; +∞ [, on peut écrire que :
ሺሻ ൐ ሺͳሻ
Or, ͳൌൌ ͳ
Par définition de la suite (u ), on a ൌ .
On obtient, ainsi, ൐ ͳ.
Donc, P(k+1) est vraie.
(3) Conclusion
P(0) est vraie
P(k) vraie entraine P(k+1) vraie
2) b)
* Démontrons la conjecture, émises à la 1) b), selon laquelle la suite (u ), définie
par récurrence, est décroissante, à l’aide du raisonnement par récurrence
suivant.
D’après le principe de récurrence, pour
tout entier naturel n, P(n) est vraie, c'est-
à-dire
െ
ͳ
൐
Ͳ
.

Soit P(n), la propriété selon laquelle, pour tout entier n ≥ 0, ൑ .
(1) Initialisation
Vérifions que P(0) est vraie.
On sait que ൌ ൌ . Or, ൌ ͷ ; d’où,  ൌ ൏ .
D’où, P(0) est vraie.
(2) Hérédité
Supposons que, pour tout entier k, la propriété P(k) soit vraie, c’est-à-dire
൑.
Montrons que P(k+1) est vraie, soit ൑.
Par hypothèse de récurrence, on a : ൑.
Sur lN où elle définie, la suite (u ) a pour minimum 1. De là, par stricte croissance
de f sur [1 ; +∞ [, il vient : ሺሻ ൑ ሺሻ
D’où, ൑
Par conséquent, P(k+1) est vraie.
(3) Conclusion
P(0) est vraie
P(k) vraie entraine P(k+1) vraie
On en conclut que, pour tout naturel n, la suite (u ) est strictement décroissante.
* Ensuite, prouvons la convergence de la suite (u ) vers 1.
Comme (u ) est décroissante (d’après ce qui précède) et minorée par 1, elle
converge vers une limite notée .
D’après le principe de récurrence, pour
tout entier naturel n, P(n) est vraie, c'est-
à-dire
൑
.

Autrement dit, pour tout n, comme ͳ ൑  (démontré à la question 2) a)), alors
ͳ ൑ et  ൑ .
Aussi, de ൑ , par stricte croissance de f, on en déduit que
ሺሻ ൑ ሺሻ c’est à dire, ൑ . Donc, quand n tend vers +∞, (u ) tend
vers .
Aussi, par application du théorème de comparaison, sur ൑ , on peut dire
que quand n tend vers +∞, (u ) tend aussi vers , la limite de (u ).
Toutefois, l’unicité de la limite de (u ) nous permet d’exprimer  de cette
manière : ൌ  ൅ ʹൌ Ͷെ ͳ; ൅ ʹെ Ͷ൅ ͳ ൌ Ͳ ; െ ʹ൅ ͳ ൌ Ͳ.
Cela conduit à l’équation produit nul ሺെ ͳሻ; ൌ Ͳ dont l’unique solution est
clairement ൌ ͳǤ
On en conclut que (u ) converge bien vers 1.
3) a) Soit, pour tout nombre entier naturel n, ൌ Ǥ
Prouvons que la suite (v ) est arithmétique de raison .
Pour cela, calculons la différence െ.
ൌͳ
െ ͳ
Or, par définition de (u ), on sait que : ൌ.
Donc :
ൌͳ
Ͷെ ͳ
൅ ʹ െ ͳ
ൌͳ
Ͷെ ͳെ ሺ൅ ʹሻ
൅ ʹ

ൌͳ
͵െ ͵
൅ ʹ
ൌ൅ ʹ
͵െ ͵
D’où, െ ൌ െ  െ ൌ െ 
 െ ൌ  െ ൌ
 െ ൌ  െ ൌ
Donc, െ ൌ ൌ .
Ainsi, pour tout naturel n, comme െ ൌ (constante) alors (v ) est
effectivement une suite arithmétique de raison .
3) b)
*D’abord, exprimons v en fonction de n.
Son premier terme étant v , la suite (v ), arithmétique de raison r, peut s’écrire
sous la forme explicite suivante : ൌ൅
Or, d’une part, on sait que ൌ et d’autre part, ൌ ൌ ൌ
Donc, ൌ ൅ 
*Ensuite, exprimons u en fonction de n.
Sachant que, pour tout naturel n, ൌ , on obtient :
െ ͳ ൌ ͳ
Et, puisque ൌ ൅ , on a : ൌ ൅ ͳ
 ൌͳ
͵ ൅ Ͷ
ͳʹ
൅ ͳ