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RÉVISIONS DE MATHÉMATIQUES POUR LA RENTRÉE 2012
L’objectif de ce travail de vacances est de vous permettre d’aborder au mieux votre année de MPSI. Il s’agit,
autour de thèmes précis, évitant ainsi toute dispersion inutile, d’effectuer un travail profond, de consolider des
connaissances de Première et Terminale et de vous maintenir en "éveil mathématique".
Ce travail n’a de sens que si vous le faites en allant au fond des choses, aussi bien pour le cours que pour
les exercices : ne laissez rien vous échapper, notez soigneusement les questions qui restent en suspens pour la
rentrée ...
Il ne s’agit pas d’expédier le tout en une journée ! Au contraire : prenez le temps de la réflexion. Nous vous
suggérons, après une petite coupure bien méritée, d’alterner le repos et les loisirs avec les révisions, c’est de
cette façon que vous préparerez le mieux la rentrée.
La première partie est un résumé de quelques notions de cours de Terminale qu’il est indispensable de maîtriser
à la rentrée. La deuxième partie est une série d’exercices obligatoires en rapport avec ces notions.
Un corrigé sera mis en ligne sur le site du Lycée Thiers à compter du 1er août. Attention, utilisez-le correctement !
îUne interrogation écrite commune aux trois MPSI permettra de faire un bilan de ces révisions. Elle aura lieu
dès la rentrée des classes.
M. Clary, M. Dakhli, M. Adad, professeurs de mathématiques de MPSI
Quelques primitives usuelles
Dans le tableau ci-dessous, on désigne par Iun intervalle de Ret par Fune primitive particulière de la
fonction fsur l’intervalle I. Les autres primitives s’en déduisent en ajoutant une constante arbitraire.
f(x)F(x)Condition
xnxn+1
n+1I=Ret n∈N
xnxn+1
n+1I⊂R?et nentier négatif, n,−1
1
xln |x|I⊂R?
ln (x)xln (x)−x I ⊂]0, +∞[
exexI=R
sin (x)−cos (x)I=R
cos (x)sin (x)I=R

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Trigonométrie
Pour les fonctions cos et sin, les propriétés de continuité, dérivabilité, variations, parité /imparité,
périodicité, etc... doivent être connues. En outre :
(1) Formule fondamentale de la trigonométrie circulaire :
∀x∈R, cos2(x) + sin2(x) = 1.
Quelle est la signification géométrique de cette formule ?
(2) La fonction cos est 2π-périodique, paire, et pour tout x∈R:
cos (π+x)=−cos(x); cos (π−x)=−cos(x); cos π
2+x=−sin(x); cos π 2−x=sin(x)
(3) La fonction sin est 2π-périodique, impaire, et pour tout x∈R:
sin (π+x)=−sin(x); sin (π−x)=sin(x); sin π
2+x=cos(x); sin π 2−x=cos(x)
Sauriez-vous illustrer les formules des points (2) et (3) à l’aide du cercle trigonométrique ?
(4) Cas d’égalité du cosinus et du sinus :
cos(a) = cos(b)⇐⇒ 
a≡bmod 2π
ou
a≡ −bmod 2π
sin(a) = sin(b)⇐⇒ 
a≡bmod 2π
ou
a≡π−bmod 2π
Ces propriétés sont notamment utiles pour résoudre certaines équations (cf. par exemple
l’exercice n° 3).
La notation a≡b mod 2πsignifie qu’il existe un entier ktel que a−b=2kπ.
Sauriez-vous interpréter ces propriétés à l’aide du cercle trigonométrique ?
(5) Formules d’addition. Elles sont à savoir par cœur :
(a) cos (a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b)
(b) sin (a+b)=sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
(c) cos (a−b)=cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
(d) sin (a−b)=sin(a)cos(b)−cos(a)sin(b)
Sauriez-vous déduire (c) et (d) de (a) et (b) ?
(6) Les formules suivantes sont à connaître :
(a) Formules de duplication :
cos (2a)=cos2(a)−sin2(a) = 2 cos2(a)−1=1−2 sin2(a)
sin (2a)=2 sin(a)cos(a)
(b) Formules de linéarisation :
cos2(a) = 1
2(cos (2a)+1); sin2(a) = 1 2(1−cos (2a))
Sauriez-vous les déduire de ce qui précède ?

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(7) Formules de transformation de produit en somme. Elles sont, tout comme les précédentes, à
connaître par cœur :
(a) cos (a)cos (b)=1
2(cos (a+b)+cos (a−b))
(b) sin (a)sin (b)=1
2(cos (a−b)−cos (a+b))
(c) sin (a)cos (b)=1
2(sin (a+b)+sin (a−b))
Sauriez-vous établir ces formules ?
(8) Enfin, pour tout (x,y)∈R2tel que x2+y2=1, il existe un réel α(est-il unique ?) tel que :
x=cos(α)
y=sin(α)
Comment interpréter graphiquement cette propriété?
(9) Les fonctions cos et sin sont dérivables sur Ret :
cos0=−sin; sin0=cos
(10) Deux limites remarquables :
sin (x)
x−→
x→01; cos (x)−1
x2−→
x→0−1
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Sauriez-vous les démontrer ?
Nombres complexes
(1) Si z=x+iy est un nombre complexe sous forme algébrique (x,ysont réels), on appelle
conjugué de zle nombre complexe x−iy ; il est noté z.
(2) Etant donné un nombre complexe z,zz est un réel positif et on appelle module de zle réel
positif :
|z|=√zz
(3) Pour θ∈R, on note eiθle nombre complexe cos(θ) + isin(θ).
(a) eiθest un nombre complexe de module 1.
(b) ei0=1
(c) Pour θ∈R:
eiθ=cos(θ)−isin(θ) = 1
eiθ
(d) Pour tous θ,θ0∈R:
eiθeiθ0=ei(θ+θ0)
Sauriez-vous justifier chacune des quatre affirmations ci-dessus ?
(4) Pour tout θ∈Ron a les formules d’Euler :
cos(θ) = 1
2eiθ+e−iθsin(θ) = 1 2ieiθ−e−iθ
Sauriez-vous les établir ?

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Formules diverses
(1) Pour (n,p)∈N2et 0 6p6n, on note :
n
p
=n!
p!(n−p)!,
que l’on lit “pparmi n”. Une ancienne notation (désormais inutilisée) : Cp
n.
(2) Soit (n,p)∈N2tel que p6n.
(a) 
n
p
=
n
n−p
.
(b) Si de plus 1 6p6n−1, 
n
p
=
n−1
p
+
n−1
p−1
.
(c) Les +utilisées :
n
0
=
n
n
=1 ; 
n
1
=
n
n−1
=n
n
2
=
n
n−2
=n(n−1)
2
(3) Formule du binôme de Newton . Soient a,b∈Cet n∈N:
(a+b)n=
n
0
an+
n
1
an−1b+. . . +
n
k
an−kbk+. . . +
n
n
bn
(4) Soient a,b∈Cet n∈N:
an−bn=(a−b)an−1+an−2b+. . . +abn−2+bn−1
(5) Si aest un nombre complexe différent de 1 et nun entier naturel, alors :
1+a+. . . +an=1−an+1
1−a
(6) Si nest un entier naturel non nul, alors :
1+2+. . . +n=n(n+1)
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EXERCICES OBLIGATOIRES
Quelques recommandations :
(1) Ne vous servez pas de votre calculette ni d’un quelconque formulaire lors de la phase de recherche des
exercices.
(2) Utilisez éventuellement votre calculette comme outil de contrôle, à l’issue de phase de recherche, après
avoir vérifié et re-vérifié vos calculs à la main.
(3) Rédigez avec soin, en essayant d’être à la fois concis et précis.
(4) En cas de blocage, passez à une autre question puis reprenez un peu plus tard l’exercice récalcitrant ...
Le cerveau travaille bien souvent en arrière-plan.
Exercice 1. Expliciter, en détaillant au maximum :
cos π
8, cos 3π 8, cos 5π 8, cos 7π 8, cos 9π 8, sin π 8
Exercice 2. Calculer de deux façons le cosinus et le sinus de π
12 :
(1) avec une formule d’addition, en remarquant que π
12 =π 3−π 4,
(2) avec une formule de duplication, en remarquant que π
6=2×π 12.
Calculer alors cos 5π
12 puis cos π 24.
Exercice 3. Résoudre dans Rchacune des cinq équations suivantes :
sin (3x)=1
2; cos (2x)=−√3 2; sin (x)=sin π 4−3x
cos (2x)=cos π
5+x; sin2(x)=1
2√3cos (x)
Reprendre ensuite les trois premières équations en les résolvant cette fois dans [0, 2π].
Exercice 4. Voici encore quelques formules de trigonométrie à connaître! On les appelle “formules
de transformation de sommes en produits”. Sauriez-vous les établir?
(1) sin(p) + sin(q) = 2 sin p+q
2cos p−q 2
(2) sin(p)−sin(q) = 2 cos p+q
2sin p−q 2
(3) cos(p) + cos(q) = 2 cos p+q
2cos p−q 2
(4) cos(p)−cos(q) = −2 sin p+q
2sin p−q 2
Exercice 5. Etudier, pour x∈[0, 2π], le signe de chacune des expressions suivantes :
f1(x)=sin (x)+sin (2x)
f2(x)=cos (x)−cos (3x)
f3(x)=sin (x)+1
2sin (3x)
Pour f1et f2, on pourra utiliser l’exercice précédent. Pour f3, on pourra transformer l’expression en
un polynôme en sin (x).