47 Probabilités que deux entiers soient premiers entre eux

82 47 PROBABILITÉS QUE DEUX ENTIERS SOIENT PREMIERS ENTRE EUX
47 Probabilités que deux entiers soient premiers entre eux
ref : FGN algèbre 1, p.156.
Théorème 47.1 Pour n≥1, on note rnla probabilité que deux entiers de [1, n]soient premiers
entre eux. On définit la fonction de Möbius µ:N⇤!Zpar µ(p1. . . pr) = (−1)ret µ(d) = 0 si d
a un facteur carré. Alors :
–rn=1
n2Pn
d=1 µ(d)E(n
d)2
–rn−−−−!
n!+1
6
⇡2
Preuve. On note Anl’ensemble des couples (a, b)2[1, n]2tels que a^b= 1. On a alors
rn=|An|
n2. On note p1, . . . , pkl’ensemble des nombres premiers plus petits que net Uil’ensemble
des couples (a, b)tels que pidivise aet b. Alors Anest le complémentaire de l’union des Ui. Pour
calculer le cardinal de l’union des Ui, on utilise la formule du crible :
card(
k
[
i=1
Ui) = X
I6=,I⇢[1,k]
(−1)1+card(I)card(\
i2I
Ui)
Pour I⇢[1, k], l’intersection \i2IUiest l’ensemble des couples (a, b)tels aet bsont divisibles
par Qi2Ipi. Il y a exactement E(n
Qpi)nombre de [1, n]divisible par Qpi, car il faut simplement
choisir le quotient de npar Qpi. Pour avoir le nombre de couples de nombres divisibles par Qpi
on élève au carré : on trouve E(n
Qpi)2.
La formule du crible donne alors :
card(An) = n2−card(
k
[
i=1
Ui) = n2−X
I6=,I⇢[1,k]
(−1)card(I)+1E(n
Qi2Ipi
)2
=
n
X
d=1
µ(d)E(n
d)2
puisque tout entier entre 1et nest un produit des pi, et seuls apparaissent les nombres sans
facteur carré dans la somme grâce à la multiplication par µ.
Donc
rn=1
n2
n
X
d=1
µ(d)E(n
d)2
Comme 1
n2E(n
d)2⇠d2, on est amené à comparer rnàPd
µ(d)
d2.
On a n
d−1< E(n d)n dque l’on élève au carré, puisque tout est positif, on obtient :
1
n2−2 dn <1 n2E(n d)2−1 d20
Cela permet de majorer :
|rn−
n
X
d=1
µ(d)
d2|
n
X
d=1
2
dn +1 n2=O(ln n n)
puisque Pn
k=1 1
k⇠ln n.
Calculons le produit P1
n2⇥Pµ(d) d2. Comme chacune de ces séries est sommable, la suite
double Pn,d
µ(d)
d2n2est aussi sommable. On écrit la partition :

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(N⇤)2=G
i2N⇤
{(d, n)|dn =i}=G
i2N⇤
G
l|i
{(n, d)|nd =i, d =l}
Donc :
X
d,n
µ(d)
d2n2=X
i2N⇤
X
l|i
µ(l)
i2=X
i2N⇤
1
i2X
l|i
µ(l)
Il nous reste à calculer Pd|nµ(d). On pose S(n) = Pd|nµ(d). On a S(1) = 1, montrons que
S(n)=0pour n≥2. Décomposons nen facteurs premiers : n=p↵1
1. . . p↵r
r, les diviseurs de
nsont des produits de piet leur µest nul dès qu’un facteur carré apparait. On regroupe les
diviseurs dde nselon le nombre de facteurs premiers qu’ils contiennent :
X
d|n
µ(d) =
k
X
i=0
Ci
k(−1)i= (1 −1)k= 0
Donc Pd,n
µ(d)
n2d2= 1 et comme P1 n2=⇡2
6, on trouve rn−−−!
n!1
6
⇡2.
⇤
Leçons concernées : convergence suite, séries, combinatoire.