47 Probabilités que deux entiers soient premiers entre eux

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47 PROBABILITÉS QUE DEUX ENTIERS SOIENT PREMIERS ENTRE EUX
Probabilités que deux entiers soient premiers entre eux
ref : FGN algèbre 1, p.156.
Théorème 47.1 Pour n 1, on note rn la probabilité que deux entiers de [1, n] soient premiers
entre eux. On définit la fonction de Möbius µ : N⇤ ! Z par µ(p1 . . . pr ) = ( 1)r et µ(d) = 0 si d
a un facteur carré.
P Alors :
– rn = n12 nd=1 µ(d)E( nd )2
– rn
! ⇡62
n!+1
Preuve. On note An l’ensemble des couples (a, b) 2 [1, n]2 tels que a ^ b = 1. On a alors
rn = |An2n | . On note p1 , . . . , pk l’ensemble des nombres premiers plus petits que n et Ui l’ensemble
des couples (a, b) tels que pi divise a et b. Alors An est le complémentaire de l’union des Ui . Pour
calculer le cardinal de l’union des Ui , on utilise la formule du crible :
card(
k
[
X
Ui ) =
i=1
( 1)1+card(I) card(
\
Ui )
i2I
I6=,I⇢[1,k]
Pour
b) tels a et b sont divisibles
Q I ⇢ [1, k], l’intersection \i2I Ui est l’ensemble des couples (a,Q
par i2I pi . Il y a exactement E( Qnpi ) nombre de [1, n] divisible par pi , car il faut simplement
Q
Q
choisir le quotient de n par pi . Pour avoir le nombre de couples de nombres divisibles par pi
on élève au carré : on trouve E( Qnpi )2 .
La formule du crible donne alors :
card(An ) = n2
card(
k
[
X
U i ) = n2
i=1
I6=,I⇢[1,k]
=
n
X
d=1
( 1)card(I)+1 E( Q
n
i2I pi
)2
n
µ(d)E( )2
d
puisque tout entier entre 1 et n est un produit des pi , et seuls apparaissent les nombres sans
facteur carré dans la somme grâce à la multiplication par µ.
Donc
n
1 X
n
µ(d)E( )2
rn = 2
n
d
d=1
Comme
On a nd
P
⇠ d2 , on est amené à comparer rn à d µ(d)
.
d2
n
n
1 < E( d )  d que l’on élève au carré, puisque tout est positif, on obtient :
1
E( nd )2
n2
1
n2
2
n
1
< 2 E( )2
dn
n
d
1
0
d2
Cela permet de majorer :
|rn
n
X
µ(d)
d=1
d2
n
X
2
ln n
1
|
= O(
+
)
dn n2
n
d=1
P
puisque nk=1 k1 ⇠ ln n.
P 1
P µ(d)
Calculons le produit
⇥
. Comme chacune de ces séries est sommable, la suite
n2
d2
P µ(d)
double n,d d2 n2 est aussi sommable. On écrit la partition :
83
(N⇤ )2 =
G
{(d, n)|dn = i} =
i2N⇤
Donc :
G G
{(n, d)|nd = i, d = l}
i2N⇤ l|i
X X µ(l)
X 1 X
X µ(d)
=
=
µ(l)
d 2 n2
i2
i2
⇤
⇤
i2N
d,n
P
l|i
i2N
P
l|i
Il nous reste à calculer d|n µ(d). On pose S(n) = d|n µ(d). On a S(1) = 1, montrons que
S(n) = 0 pour n
2. Décomposons n en facteurs premiers : n = p↵1 1 . . . p↵r r , les diviseurs de
n sont des produits de pi et leur µ est nul dès qu’un facteur carré apparait. On regroupe les
diviseurs d de n selon le nombre de facteurs premiers qu’ils contiennent :
X
µ(d) =
P
µ(d)
d,n n2 d2
= 1 et comme
Cki ( 1)i = (1
1)k = 0
i=0
d|n
Donc
k
X
P
1
n2
=
⇡2
6 ,
on trouve rn
! 62 .
n!1 ⇡
⇤
Leçons concernées : convergence suite, séries, combinatoire.