2015 sujet 5

17 mai 2016 13:55 2015-061-PSI-Mat2
Oral
Mathématiques 2
PSI
Pour traiter ce sujet le candidat est vivement invité à utiliser l’ordinateur à sa disposition, équipé de Python/Pyzo
et de Scilab.
Pour tout dans ∗, on note  le nombre de chires dans l’écriture de en base . Par exemple : ,
  ,,,.
1. Un entier dans ∗étant donné, combien y-a-t-il d’entiers  ∗tels que   ?
2.
a. Écrire une fonction permettant de calculer . Tester avec .
b. Écrire une fonction Couples(k) permettant de compter le nombre de couples  d’entiers à chires
tels que le produit  comporte  chires.
c. Pour  ,et , calculer Couples
2𝑘−2 .
3. On note 𝑛la probabilité pour que deux nombres entiers à chires choisis indépendamment, aient un
produit ayant  chires.
a. Exprimer 𝑛à l’aide de la fonction Couples(n).
b. On note  la partie entière d’un réel . Montrer que
𝑛
2𝑛−2
10𝑛−1
𝑘=10𝑛−1 2𝑛−1 
𝑛−1 
4.
a. Calculer 𝑛10𝑛−1
𝑘=10𝑛−1 𝑛−1 .
Donner un équivalent de 𝑛en l’inni.
b. Déterminer un équivalent de 𝑛10𝑛−1
𝑘=10𝑛−1 2𝑛−1 
en l’inni.
On pourra comparer à une intégrale.
c. En déduire que la suite 𝑛𝑛est convergente.
Déterminer sa limite ; en donner une valeur approchée décimale raisonnable.