Probabilité pour que deux entiers soient premiers entre eux.

Probabilité pour que deux entiers soient premiers entre eux.
Référence : Oraux X-ENS, Algèbre 1.
Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas
2011-2012
Prérequis :
– fonction de Möbius
– formule du crible
On rappelle la définition de la fonction de Möbius :
Définition 1
La fonction de Möbius est la fonction µ:N∗→Zdéfinie par :
–µ(1) = 1
–µ(p1···pr) = (−1)rsi les pisont des nombres premiers distincts
–µ(n) = 0 sinon (si nest divisible par le carré d’un nombre premier).
On rappelle de plus la formule du crible :
Proposition 2 : Formule du crible
Soient E1,...,Ekdes ensembles finis. Alors :
Card k
[
i=1
Ei!=X
∅6=I⊆[1,k]
(−1)1+Card ICard \
i∈I
Ei!.
On note aussi rnla probabilité que deux entiers choisis au hasard dans [1, n]soient premiers entre eux.
On a alors :
Théorème 3
On a lim
n→∞ rn=6
π2.
Démonstration. Appellons, pour tout n>1,
An={(a, b)∈[1, n]2|a∧b= 1}.
On a donc rn=Card An
n2.
On note p1,...,pkla liste des nombres premiers inférieurs à n, et Ui={(a, b)∈[1, n]2|pi|aet pi|b}.
1

On a alors l’identité :
An= k
[
i=1
Ui!c
.
Lemme 4
On a
Card An=
n
X
d=1
µ(d)En
d2
.
Démonstration. Soit I⊆[1, k]non vide. Alors le cardinal de l’intersection Ti∈IUiest exactement égal au
nombre de couples de multiples strictement positifs de Qi∈Ipiinférieurs à n:
Card \
i∈I
Ui!=En
Qi∈Ipi2
.
On peut donc utiliser la formule du crible :
Card k
[
i=1
Ui!=X
∅6=I⊆[1,k]
(−1)1+Card ICard \
i∈I
Ui!
=X
∅6=I⊆[1,k]
(−1)1+Card IEn
Qi∈Ipi2
Donc on a :
Card An=n2−X
∅6=I⊆[1,k]
(−1)1+Card IEn
Qi∈Ipi2
=
n
X
d=1
µ(d)En
d2
En effet : on veut ne garder dans la somme que les produits de nombres premiers distincts, d’où le µ(d) pour
"enlever" les autres, et n2correspond à d= 1.
D’où le résultat. ♦
On peut en déduire immédiatement que
rn=1
n2
n
X
d=1
µ(d)En
d2
.
L’intuition nous indique ici de remplacer le terme 1
n2En d2par son équivalent 1 d2(on commence à voir apparaître
ζ(2). . .).
On estime la différence entre les deux sommes :
rn−
n
X
d=1
µ(d)
d2
=
n
X
d=1
µ(d)1
n2En d2
−1
d2
.
2

On remarque que E(n/d)> n/d −1, et donc on a :
1
n2−2 dn <1 n2En d2
−1
d260.
Donc, par inégalité triangulaire :
rn−
n
X
d=1
µ(d)
d2
6
n
X
d=1 2
dn +1 n2
62
n
n
X
d=1
1
d+1 n
=Olog n
n
Ainsi, on a l’identité :
lim
n→∞ rn=
∞
X
d=1
µ(d)
d2.
Calculons cette somme. Pour cela, calculons à tout hasard
∞
X
d=1
µ(d)
d2×
∞
X
n=1
1
n2.
Les deux séries convergent absolument, et donc, par théorème de Fubini :
∞
X
d=1
µ(d)
d2! ∞
X
n=1
1
n2!=X
d,n>1
µ(d)
(dn)2
=X
d>1, d|k
µ(d)
k2
=X
k>1X
d|k
µ(d)
p2
=X
k>1
1
k2
X
d|k
µ(d)
Il ne nous manque ici plus qu’un petit lemme sur la fonction de Möbius :
Lemme 5
On a
X
d|n
µ(d) = 1si n= 1
0si n>2.
Démonstration. Notons S(n) la somme considérée. Il est clair que S(1) = 1. Soit donc n>2, et considérons sa
décomposition en facteurs premiers :
n=
k
Y
i=1
pαi
i,
3

où les pisont des nombres premiers distincts, et αides entiers strictements positifs.
Les seuls termes non nuls dans S(n) sont des produits de pi, sans multiplicités. Pour chaque j,na exactement
Cj
kdiviseurs de cette forme, produits de i pj. D’où
S(n) =
k
X
j=0
Cj
k(−1)j
= (1 −1)k
= 0
♦
On conclut avec le lemme, et la bien connue valeur de ζ(2).
4