Terminale STI - Bac - Exercice 21 - Correction - XMaths

Terminale STI - Bac - Exercice 21 - Correction
1. On peut représenter l’épreuve qui consiste à lancer trois fois la pièce par l’arbre ci-dessous.
•
P
P
P F
F
P F
F
P
P F
F
P F
On observe alors qu’il existe 8 éventualités.
L’univers est : Ω = {PPP ; PPF ; PFP ; PFF ; FPP ; FPF ; FFP ; FFF} .
2. On calcule pour chaque éventualité la somme gagnée ou perdue, on obtient :
•PPP : −1−1−1 = −3
•PPF : −1−1 + 3 = 1
•PFP : −1 + 3 −1 = 1
•PFF : −1 + 3 + 3 = 5
•FPP : 3−1−1 = 1
•FPF : 3−1 + 3 = 5
•FFP : 3+3−1 = 5
•FFF : 3 + 3 + 3 = 9
La variable aléatoire Xprend donc les valeurs {−3 ; 1 ; 5 ; 9}.
La pièce étant supposée bien équilibrée, on peut supposer que la probabilité est uniforme.
Pour tout événement A, on a donc p(A) = card(A)
card(Ω) =card(A) 8
On a card(X=−3) = 1, donc p(X=−3) = 1
8card(X= 1) = 3, donc p(X= 1) = 3 8
card(X= 5) = 3, donc p(X= 5) = 3
8card(X= 9) = 1, donc p(X= 9) = 1 8
La loi de probabilité de Xest donc donnée par :
xi−3 1 5 9
p(X=xi)1
8
3
8
3
8
1
8
3. On a : E(X) = −3×p(X=−3) + 1 ×p(X= 1) + 5 ×p(X= 5) + 9 ×p(X= 9)
donc E(X) = −3×1
8+ 1 ×3 8+ 5 ×3 8+ 9 ×1 8=−3 8+3 8+15 8+9 8=24 8
donc : E(X) = 3 .
V(X) = (−3−3)2×p(X=−3) + (1 −3)2×p(X= 1) + (5 −3)2×p(X= 5) + (9 −3)2×p(X= 9)
donc V(X) = 36 ×1
8+ 4 ×3 8+ 4 ×3 8+ 36 ×1 8=36 + 12 + 12 + 36 8=96 8
donc : V(X) = 12 .
On a : σ(X) = pV(X) = √12, donc σ(X) = 2√3.
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4. p(X61) = p(X=−3) ∪(X= 1)
donc p(X61) = p(X=−3) + p(X= 1) (les événements (X=−3) et (X= 1) sont incompatibles )
Donc p(X61) = 1
8+3 8=4 8, donc p(X61) = 1 2.
La fonction de répartition Fde la variable aléatoire Xest définie par :
F(x) = P(X6x)pour tout réel x.
•pour x∈]− ∞;−3[,F(x) = 0
•pour x∈[−3; 1[,F(x) = p(X=−3) = 1
8
•pour x∈[1; 5[,F(x) = p(X61) = 1
2
•pour x∈[5; 9[,F(x) = p(X65) = 7
8
•pour x∈[9; +∞[,F(x) = p(X69) = 1.
On peut alors tracer la courbe représentant la fonction de répartition de F:
1
7
8
1
2
1
8
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