Racine carrée = a. et a

Chapitre 7 : Racine carrée
I) Définition :
La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif, noté
a
, dont le
carré est a.
Exemples :
16
= 4
1024
= 32
Remarque :
a
n'a pas de sens lorsque a est un nombre strictement
négatif.
Une utilisation :
On donne AB = 10 cm et et AC = 6 cm, calculons BC :
–Le triangle ABC est rectangle,
–D'après le théorème de Pythagore,
–On a AB² = AC² + BC² donc 10² = 6² + BC²
100 = 36 + BC²
BC² = 100 – 36 = 64
BC =
64
= 8
Le segment [BC] mesure 8 cm.
II) A connaître
Pour tout nombre positif a,
a2=a.
et
a
2=a
Exemples :
12 = 1 donc
1
= 1
3,62
= 3,6
5 est positif donc
52
= 5
A
B
C

III) Règle de calculs
Pour tous nombres positifs a et b,
a×b= a× b
Exemples :
A =
3× 27
=
3×27
=
81
= 9
B =
32
peut s'écrire sous la forme
a b
avec a et b deux nombres
entiers positifs, b étant le plus petit possible.
B =
32
=
16×2
On fait apparaître le produit d'un carré parfait (le plus grand possible)
par un entier.
B =
42×2
=
42× 2
=
4× 2
=
4 2
Pour tous nombres positifs a et b (b ≠ 0),
√
a
b=
√
a
√
b
IV) Réduire une somme de racines carrées :
Exemples :
Réduire la somme A =
2
√
72 –7
√
18
sous la forme
c
√
d
,
où c et d sont deux entiers relatifs, d étant le plus petit possible.
A =
2 72 –7 18
=
2 36×2–7 9×2
(On décompose 72 et 18 pour faire apparaître le produit d'un carré
parfait le plus grand possible par un même entier.)
=
2 36× 2–7× 9× 2
=
2×6× 2–7×3× 2
=
12 2–21 2
=
12 –21 2
(on a factorisé par
2
)
=
–9 2