Exercice 1 : ROC Soit l`ensemble des nombres premiers supposé

Corrigé du DS1 spémaths TS3-TS4 octobre 2013
Exercice 1 : ROC
Soit    l’ensemble des nombres premiers supposé fini :  est donc le plus
grand des nombres premiers.
Considérons alors l’entier    , le produit de tous les éléments de P
augmenté de 1 : comme     admet un diviseur premier, c’est-à-dire l’un des éléments de P :  .
Mais alors,  divise  et aussi le produit  puisqu’il est l’un des facteurs de ce
produit, donc  divise la différence qui vaut 1 :
 , c’est absurde pour un nombre premier.
Conclusion : c’est donc que la 1ère supposition faite était déjà absurde, et donc P est infini.
Exercice 2 : Déterminer tous les entiers naturels  pour lesquels la fraction  
 est un entier.
Indiquer les valeurs correspondantes de N.
 est un entier équivaut à     
On a donc    (on dresse la liste EXHAUSTIVE des diviseurs de 4).
Donc    mais avec    on obtient   . (condition nécessaire)
Réciproquement ( à faire obligatoirement car on travaillé seulement par implication) :
Si         
Conclusion :
l’ensemble des entiers naturels n tels que N est entier est  et N prend les valeurs .
Exercice 3 :
1° s’il existe un entier d qui divise , alors 
C'est-à-dire  donc .
On a donc    étant donné que d est supposé entier naturel.
2° Si de plus d est premier on a donc soit d = 5 , soit d = 7.
de plus d | 4n + 17 – (3n + 4) donc d | n + 13
Par suite il existe un entier k  tel que n + 13 = kd , donc n = dk – 13, k  a priori.
Si d = 5 alors n =    avec p  si l’on veut avoir n positif.
Si d = 7 alors n       avec p  si l’on veut avoir n positif.
Réciproquement si      alors n est un entier naturel,
et    
et aussi       : les deux entiers sont bien divisibles par 5.
On vérifie de même que les deux nombres sont divisibles par 7, pour le cas   
Conclusion : dans les deux cas, on obtient une suite arithmétique :
La première est de raison 5 et de 1er terme 2, la seconde de raison 7 et de 1er terme 1.

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Exercice 4 : 1° a) L’entier 1007 est-il premier ? NON puisque 1007 = .
Et par suite   .
Commentaire : tout un chacun doit avoir un programme de recherche de diviseurs pour un entier ou un test
de primarité dans sa calculatrice, en état de marche !
2° Dans la division euclidienne de 2119 par un entier naturel non nul b, on obtient comme reste 105.
b est donc défini par :   avec b , q entiers et     . Ce qui équivaut à :
   :
Les entiers b cherchés sont donc les diviseurs (positifs) de  supérieur strictement à 105.
Comme    (c’est important d’en avoir la liste EXHAUSTIVE)
on peut avoir : b = 106 et q = 19 , ou b = 1007 et q = 2 ou enfin b = 2014 et q = 1.
3°a) Comme   , 4 028² a  diviseurs.
b) La proposition est VRAIE . En effet :
Si m est un carré alors sa décomposition en puissances de nombres premiers ne comporte que des exposants
pairs, et son nombre de diviseurs est alors d’après la propriété admise le produit de nombres entiers tous
impairs :  puisque tous les  sont pairs.
Ainsi 2 ne divise pas ce produit et m a bien un nombre impair de diviseurs.
c) la réciproque de la proposition b) s’énonce ainsi :
« Si un entier m a un nombre impair de diviseurs, alors m est le carré d’un entier. »
Et la contraposée de cette réciproque est donc :
« Si un entier m n’est pas le carré d’un entier, alors m a un nombre pair de diviseurs. »
Cette proposition aussi est VRAIE.
En effet , si m n’est pas le carré d’un entier , alors sa décomposition en puissances de nombres premiers
possède au moins un exposant impair notons le :   (sinon, tous les exposants étant pairs, donc
divisibles par 2 , il est évident que m serait le carré d’un entier).
Le nombre de diviseurs de m est donc un produit d’entiers dans lequel figure le facteur    
 : il est donc divisible par 2. CQFD !
Exercice 5 :
1° Les restes possibles dans la division euclidienne d’un entier n par 3 sont 0, 1 ou 2
2° soit    et alors      c'est-à-dire n² est multiple de 3
Soit      et alors       et son reste dans la division par 3 est 1
Soit enfin      et alors         et son
reste dans la division par 3 est encore 1.
Conclusion : pour tout entier  soit  est multiple de 3, soit son reste dans la division par 3 est 1.
Autre formulation, plus « savante » : un carré n’est « jamais » congru à 2 modulo 3.