Exercice 1 : ROC Soit l`ensemble des nombres premiers supposé

Corrigé du DS1 spémaths
TS3-TS4 octobre 2013
Exercice 1 : ROC
Soit
grand des nombres premiers.
Considérons alors l’entier
augmenté de 1 : comme
l’ensemble des nombres premiers supposé fini :
est donc le plus
, le produit de tous les éléments de P
admet un diviseur premier, c’est-à-dire l’un des éléments de P :
.
Mais alors,
divise et aussi le produit
puisqu’il est l’un des facteurs de ce
produit, donc
divise la différence
qui vaut 1 :
, c’est absurde pour un nombre premier.
Conclusion : c’est donc que la 1ère supposition faite était déjà absurde, et donc P est infini.
Exercice 2 : Déterminer tous les entiers naturels
Indiquer les valeurs correspondantes de N.
pour lesquels la fraction
est un entier.
est un entier équivaut à
On a donc
Donc
mais avec
(on dresse la liste EXHAUSTIVE des diviseurs de 4).
on obtient
. (condition nécessaire)
Réciproquement ( à faire obligatoirement car on travaillé seulement par implication) :
Si
Conclusion :
l’ensemble des entiers naturels n tels que N est entier est
et N prend les valeurs
Exercice 3 :
1° s’il existe un entier d qui divise
, alors
C'est-à-dire
donc
.
On a donc
étant donné que d est supposé entier naturel.
2° Si de plus d est premier on a donc soit d = 5 , soit d = 7.
de plus d | 4n + 17 – (3n + 4) donc d | n + 13
Par suite il existe un entier k ℤ tel que n + 13 = kd , donc n = dk – 13, k
Si d = 5 alors n =
Si d = 7 alors n
Réciproquement si
et
et aussi
avec p
avec p
ℤ a priori.
si l’on veut avoir n positif.
si l’on veut avoir n positif.
alors n est un entier naturel,
: les deux entiers sont bien divisibles par 5.
On vérifie de même que les deux nombres sont divisibles par 7, pour le cas
Conclusion : dans les deux cas, on obtient une suite arithmétique :
La première est de raison 5 et de 1er terme 2,
la seconde de raison 7 et de 1er terme 1.
.
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Exercice 4 :
TS3-TS4 octobre 2013
1° a) L’entier 1007 est-il premier ? NON puisque 1007 =
Et par suite
.
.
Commentaire : tout un chacun doit avoir un programme de recherche de diviseurs pour un entier ou un test
de primarité dans sa calculatrice, en état de marche !
2° Dans la division euclidienne de 2119 par un entier naturel non nul b, on obtient comme reste 105.
b est donc défini par :
avec b , q entiers et
. Ce qui équivaut à :
:
Les entiers b cherchés sont donc les diviseurs (positifs) de
Comme
on peut avoir :
supérieur strictement à 105.
(c’est important d’en avoir la liste EXHAUSTIVE)
b = 106 et q = 19 , ou b = 1007 et q = 2
ou enfin b = 2014 et q = 1.
3°a) Comme
, 4 028² a
diviseurs.
b) La proposition est VRAIE . En effet :
Si m est un carré alors sa décomposition en puissances de nombres premiers ne comporte que des exposants
pairs, et son nombre de diviseurs est alors d’après la propriété admise le produit de nombres entiers tous
impairs :
puisque tous les sont pairs.
Ainsi 2 ne divise pas ce produit et m a bien un nombre impair de diviseurs.
c) la réciproque de la proposition b) s’énonce ainsi :
« Si un entier m a un nombre impair de diviseurs, alors m est le carré d’un entier. »
Et la contraposée de cette réciproque est donc :
« Si un entier m n’est pas le carré d’un entier, alors m a un nombre pair de diviseurs. »
Cette proposition aussi est VRAIE.
En effet , si m n’est pas le carré d’un entier , alors sa décomposition en puissances de nombres premiers
possède au moins un exposant impair notons le :
(sinon, tous les exposants étant pairs, donc
divisibles par 2 , il est évident que m serait le carré d’un entier).
Le nombre de diviseurs de m est donc un produit d’entiers dans lequel figure le facteur
: il est donc divisible par 2. CQFD !
Exercice 5 :
1° Les restes possibles dans la division euclidienne d’un entier n par 3 sont 0, 1 ou 2
2° soit
et alors
Soit
et alors
c'est-à-dire n² est multiple de 3
et son reste dans la division par 3 est 1
Soit enfin
et alors
reste dans la division par 3 est encore 1.
Conclusion : pour tout entier
soit
et son
est multiple de 3, soit son reste dans la division par 3 est 1.
Autre formulation, plus « savante » : un carré n’est « jamais » congru à 2 modulo 3.