Polynômes - Alain Troesch

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
Pour le 02/03/2015
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
DM no 13 : Polynômes
Problème 1 – Soit λ ∈ R. On étudie les polynômes P (X) à coefficients réels tels que :
(X 2 − 1)P ′′ (X) + 4XP ′ (X) = λP (X).
(1)
Partie I – Propriétés des solutions de (1)
Soit P (X) une solution non nulle de (1), de degré noté n.
1. Montrer que λ = n(n + 3).
2. Soit Q(X) = (−1)n P (−X). Montrer que Q(X) est solution de (1).
3. En étudiant le degré du polynôme P (X) − Q(X), prouver que P (X) = Q(X).
En déduire la parité de P (X) en fonction de n.
Inversement, on se propose de prouver qu’étant donné un entier n > 0, il existe un polynôme Pn (X) et un seul dont
le terme de plus haut degré est X n et tel que Pn (X) soit solution de l’équation (1), avec le choix de λ = n(n + 3).
4. Déterminer P0 (X), P1 (X), P2 (X).
n
⌊X
2⌋
a2k X n−2k , avec a0 = 1.
k=0
jnk
]].
Expliciter un système linéaire satisfait par les nombres a2k , k ∈ [[0,
2
Montrer que ce système admet une unique solution (que l’on ne demande pas d’expliciter)
5. Dans le cas général, on pose : Pn (X) =
6. Donner à l’aide des polynômes Pn , n ∈ N, et selon les valeurs de λ, l’ensemble Eλ des solutions polynomiales de
l’équation (1).
Partie II – Une relation de récurrence pour le calcul de Pn
On se propose d’établir que pour tout n > 2 :
Pn (X) − XPn−1 (X) +
n2 − 1
Pn−2 (X) = 0.
4n2 − 1
(2)
1. On considère, pour tout n > 2, Rn (X) = (X 2 − 1)Pn′ (X) − nXPn (X).
(a) Calculer Rn′ (X) en fonction de Pn′ (X) et de Pn (X).
(b) Déterminer (X 2 − 1)Rn′′ (X) + 4XRn′ (X) en fonction du polynôme Rn (X) seulement.
n(n + 2)
(c) Montrer que (X 2 − 1)Pn′ (X) − nXPn (X) +
Pn−1 (X) = 0
2n + 1
′
2. Donner une relation entre Pn′ (X), Pn−1
(X) et Pn (X), et montrer finalement la relation (2).
3. Écrire une fonction Python prenant n en paramètre et retournant Pn (sous forme de liste des coefficients)
Problème 2 – Théorème de d’Alembert-Gauss
Nous donnons dans ce problème deux preuves du théorème de d’Alembert-Gauss, l’une essentiellement analytique,
l’autre essentiellement algébrique (mais reposant sur une propriété analytique simple : l’analyse semble incontournable
dans ce théorème).
Partie I – Démonstration analytique
n
X
Soit P =
ak X k un polynôme de C[X], qu’on suppose unitaire (sans perte de généralité). Montrer le théorème de
k=0
d’Alembert Gauss revient à montrer l’existence d’une racine de P .
1
1. Montrer que |P (z)| → +∞ lorsque |z| → +∞ (z ∈ C).
On peut donc considérer M tel que pour tout z ∈ C, |z| > M =⇒ |P (z)| > |P (0)|.
2. Justifier que le sous-ensemble B(0, M ) de C est compact (c’est-à-dire qu’il vérifie la propriété de BolzanoWeierstrass).
3. Justifier que |P | admet un minimum sur B(0, M ).
Notre but est de montrer que P (z0 ) = 0. Pour cela, on raisonne par l’absurde en supposant que ce n’est pas le cas.
On note z0 ∈ B(0, M ) un point en lequel |P | atteint son minimum sur cet ensemble. et on fait un changement de
variable permettant de centrer le minimum : on considère Q le polynôme Q(X) = P (z0 + X), et on pose (bk ) ses
coefficients :
Q(X) =
n
X
bk X k .
k=0
∗
On note ℓ = inf{k ∈ N | bk 6= 0}. Ainsi,
Q(X) = b0 +
n
X
bk X k .
k=ℓ
b0
Enfin, on pose c une racine ℓ-ième de − .
bℓ
4. Justifier que b0 6= 0
Q(tc) . Montrer qu’il existe η > 0 tel que pour tout t ∈]0, η[,
5. On pose f la fonction définie sur R par f (t) = b0 |f (t)| < 1.
6. En déduire une contradiction et conclure.
Partie II – Corps de décomposition d’un polynôme
Soit K un corps, et P un polynôme de K[X]. On veut montrer l’existence d’un corps K′ contenant K tel que P soit
scindé dans K′ [X]. Si K′ est minimal pour cette propriété, on dit que K′ est un corps de décomposition de K.
Soit Q un facteur irréductible (dans K[X]) de P . On note (Q) l’idéal principal de K[X] engendré par Q, et on note
K1 = K[X]/(Q) le quotient de K[X] par l’idéal (Q) (cela se comprend au sens d’un quotient de groupe).
1. Justifier que les lois + et × de K[X] passent au quotient et que les lois quotients définissent sur K1 une structure
de corps.
2. Soit ϕ : K[X] −→ K1 la projection canonique. Montrer que ϕ est un morphisme d’anneau, et que sa restriction
à K est injective.
Ainsi, on peut identifier K à son image Φ(K) ⊂ K1 . Via cette identification, on peut considérer que K ⊂ K1 .
3. En considérant θ = ϕ(X), montrer que P , vu comme polynôme de K1 [X], admet une racine dans K1 .
4. En raisonnant par récurrence, montrer l’existence d’un corps K2 contenant K dans lequel P est scindé.
5. Montrer l’existence d’un sous-corps minimal de K2 contenant K, dans lequel P est scindé.
Partie III – Polynômes symétriques
Soit K[X1 , . . . , Xn ] l’anneau des polynômes à n indéterminées à coefficients dans K, qui peut se définir récursivement
par
K[X1 , . . . , Xn ] = K[X1 , . . . , Xn−1 ][Xn ].
Les éléments de K[X1 , . . . , Xn ] s’écrivent de façon unique comme combinaison linéaire de monômes X1α1 . . . Xnαn .
Soit P ∈ K[X1 , . . . , Xn ]. On dit que P est symétrique si pour tout σ ∈ Sn , on a :
P (X1 , . . . , Xn ) = P (Xσ(1) , . . . , Xσ(n) ).
2
On définit les polynômes symétriques élémentaires :
X
Σk =
Xi1 Xi2 · · · Xik .
16i1 <i2 <···<ik 6n
Le but de cette partie est de montrer que l’ensemble S des polynômes symétriques de K[X1 , . . . , Xn ] est le sous-anneau
de K[X1 , . . . , Xn ] engendré par les polynômes symétriques élémentaires.
1. Montrer que S est un sous-anneau de K[X1 , . . . , Xn ].
2. Pour P ∈ K[X1 , . . . , Xn ], on note MD(P ) le monôme directeur de P , égal au monôme aX1α1 . . . Xnαn de la
décomposition de P pour lequel (α1 , . . . , αn ) est maximal pour l’ordre lexicographique.
Montrer que si P est un polynôme symétrique, alors
MD(P ) = aX1α1 . . . , Xnαn =⇒ α1 > · · · > αn .
3. Montrer que pour tout P, Q ∈ K[X1 , . . . , Xn ], MD(P Q) = MD(P )MD(Q).
4. Soit α1 > · · · > αn des entiers naturels. Montrer que
α
n−1
1 −α2
MD(Σα
· · · Σn−1
1
−αn
α1
αn
n
Σα
n ) = X1 · · · Xn .
5. En raisonnant par récurrence sur (α1 , . . . , αn ) le n-uplet des exposants du monôme directeur de P , montrer que
tout polynôme symétrique s’ecrit comme combinaison linéaire de produits de polynômes symétriques élémentaires, et conclure. On pourra considérer l’ordre lexicographique sur les n-uplets (α1 , . . . , αn ), et on justifiera la
validité de la « récurrence » ainsi faite sur l’ordre lexicographique.
Partie IV – Les polynômes de degré impair > 1 ne sont pas irréductibles dans C[X]
On montre dans cette partie qu’un polynôme de degré impair strictement supérieur à 1 n’est pas irréductible. On
rappelle que pour tout corps K, l’anneau K[X] est principal, et on admettra que cela implique que K[X] est factoriel,
donc que tout polynôme de K[X] se décompose de façon unique (à inversibles près, et à l’ordre près des facteurs)
comme produit de polynômes irréductibles.
1. Soit P ∈ R[X] de degré impair. Montrer que P admet une racine réelle.
On considère P ∈ C[X] de degré impair n = 2p + 1.
n
n
X
X
k
Si P =
ak X , on note P =
ak X k .
k=0
k=0
On suppose que P est unitaire et irréductible, et on pose Q = P P .
2. Justifier que P 6∈ R[X] et Q ∈ R[X].
3. Montrer que Q est irréductible dans R[X]
Soit K un corps de décomposition de Q sur C, et α1 , . . . , α2n les racines de Q (non nécessairement distinctes) dans
K. On définit le polynôme R par :
R=
Y
(X − (αi + αj )).
16i<j6n
4. En remarquant que les coefficients de R sont symétriques en les αi , montrer que R ∈ R[X].
5. Montrer que R admet une racine r dans R. On définit :
r
et
S=Q X+
2
r
T = Q −X +
.
2
Montrer que S = T . En déduire l’existence de U ∈ R[X] tel que S(X) = U (X 2 )
6. En déduire l’existence d’une racine α de P et conclure.
3
Partie V – Preuve algébrique du théorème de d’Alembert-Gauss
1. Soit P un polynôme de C[X], et α1 , . . . , αn ses racines (non nécessairement distinctes) dans un corps de décomposition K de P . On considère comme ci-dessus
R=
Y
(X − (αi + αj )).
16i<j6n
Justifier que R ∈ C[X], et qu’il existe un polynôme irréductible Q divisant R et dont la valuation 2-adique du
degré est strictement inférieure à la valuation 2-adique de degré de P .
2. Montrer le théorème de d’Alembert-Gauss par récurrence sur la valuation 2-adique du degré de P , en adaptant
la preuve de la partie IV.
4