Polynômes - Alain Troesch

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Pour le 02/03/2015
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
DM no13 : Polynômes
Problème 1 –Soit λ∈R. On étudie les polynômes P(X)à coefficients réels tels que :
(X2−1)P′′ (X) + 4XP ′(X) = λP (X).(1)
Partie I – Propriétés des solutions de (1)
Soit P(X)une solution non nulle de (1), de degré noté n.
1. Montrer que λ=n(n+ 3).
2. Soit Q(X) = (−1)nP(−X). Montrer que Q(X)est solution de (1).
3. En étudiant le degré du polynôme P(X)−Q(X), prouver que P(X) = Q(X).
En déduire la parité de P(X)en fonction de n.
Inversement, on se propose de prouver qu’étant donné un entier n>0, il existe un polynôme Pn(X)et un seul dont
le terme de plus haut degré est Xnet tel que Pn(X)soit solution de l’équation (1), avec le choix de λ=n(n+ 3).
4. Déterminer P0(X),P1(X),P2(X).
5. Dans le cas général, on pose : Pn(X) =
⌊n
2⌋
X
k=0
a2kXn−2k,avec a0= 1.
Expliciter un système linéaire satisfait par les nombres a2k,k∈[[0,jn
2k]].
Montrer que ce système admet une unique solution (que l’on ne demande pas d’expliciter)
6. Donner à l’aide des polynômes Pn,n∈N, et selon les valeurs de λ, l’ensemble Eλdes solutions polynomiales de
l’équation (1).
Partie II – Une relation de récurrence pour le calcul de Pn
On se propose d’établir que pour tout n>2:
Pn(X)−XPn−1(X) + n2−1
4n2−1Pn−2(X) = 0.(2)
1. On considère, pour tout n>2,Rn(X) = (X2−1)P′
n(X)−nXPn(X).
(a) Calculer R′
n(X)en fonction de P′ n(X)et de Pn(X).
(b) Déterminer (X2−1)R′′
n(X) + 4XR′ n(X)en fonction du polynôme Rn(X)seulement.
(c) Montrer que (X2−1)P′
n(X)−nXPn(X) + n(n+ 2)
2n+ 1 Pn−1(X) = 0
2. Donner une relation entre P′
n(X),P′ n−1(X)et Pn(X), et montrer finalement la relation (2).
3. Écrire une fonction Python prenant nen paramètre et retournant Pn(sous forme de liste des coefficients)
Problème 2 –Théorème de d’Alembert-Gauss
Nous donnons dans ce problème deux preuves du théorème de d’Alembert-Gauss, l’une essentiellement analytique,
l’autre essentiellement algébrique (mais reposant sur une propriété analytique simple : l’analyse semble incontournable
dans ce théorème).
Partie I – Démonstration analytique
Soit P=
n
X
k=0
akXkun polynôme de C[X], qu’on suppose unitaire (sans perte de généralité). Montrer le théorème de
d’Alembert Gauss revient à montrer l’existence d’une racine de P.
1

1. Montrer que |P(z)| → +∞lorsque |z| → +∞(z∈C).
On peut donc considérer Mtel que pour tout z∈C,|z|> M =⇒ |P(z)|>|P(0)|.
2. Justifier que le sous-ensemble B(0, M)de Cest compact (c’est-à-dire qu’il vérifie la propriété de Bolzano-
Weierstrass).
3. Justifier que |P|admet un minimum sur B(0, M).
Notre but est de montrer que P(z0) = 0. Pour cela, on raisonne par l’absurde en supposant que ce n’est pas le cas.
On note z0∈B(0, M)un point en lequel |P|atteint son minimum sur cet ensemble. et on fait un changement de
variable permettant de centrer le minimum : on considère Qle polynôme Q(X) = P(z0+X), et on pose (bk)ses
coefficients :
Q(X) =
n
X
k=0
bkXk.
On note ℓ= inf{k∈N∗|bk6= 0}. Ainsi,
Q(X) = b0+
n
X
k=ℓ
bkXk.
Enfin, on pose cune racine ℓ-ième de −b0
bℓ
.
4. Justifier que b06= 0
5. On pose fla fonction définie sur Rpar f(t) = 
Q(tc)
b0
. Montrer qu’il existe η > 0tel que pour tout t∈]0, η[,
|f(t)|<1.
6. En déduire une contradiction et conclure.
Partie II – Corps de décomposition d’un polynôme
Soit Kun corps, et Pun polynôme de K[X]. On veut montrer l’existence d’un corps K′contenant Ktel que Psoit
scindé dans K′[X]. Si K′est minimal pour cette propriété, on dit que K′est un corps de décomposition de K.
Soit Qun facteur irréductible (dans K[X]) de P. On note (Q)l’idéal principal de K[X]engendré par Q, et on note
K1=K[X]/(Q)le quotient de K[X]par l’idéal (Q)(cela se comprend au sens d’un quotient de groupe).
1. Justifier que les lois +et ×de K[X]passent au quotient et que les lois quotients définissent sur K1une structure
de corps.
2. Soit ϕ:K[X]−→ K1la projection canonique. Montrer que ϕest un morphisme d’anneau, et que sa restriction
àKest injective.
Ainsi, on peut identifier Kà son image Φ(K)⊂K1. Via cette identification, on peut considérer que K⊂K1.
3. En considérant θ=ϕ(X), montrer que P, vu comme polynôme de K1[X], admet une racine dans K1.
4. En raisonnant par récurrence, montrer l’existence d’un corps K2contenant Kdans lequel Pest scindé.
5. Montrer l’existence d’un sous-corps minimal de K2contenant K, dans lequel Pest scindé.
Partie III – Polynômes symétriques
Soit K[X1,...,Xn]l’anneau des polynômes à nindéterminées à coefficients dans K, qui peut se définir récursivement
par
K[X1,...,Xn] = K[X1,...,Xn−1][Xn].
Les éléments de K[X1,...,Xn]s’écrivent de façon unique comme combinaison linéaire de monômes Xα1
1...Xαn
n.
Soit P∈K[X1,...,Xn]. On dit que Pest symétrique si pour tout σ∈Sn, on a :
P(X1,...,Xn) = P(Xσ(1),...,Xσ(n)).
2

On définit les polynômes symétriques élémentaires :
Σk=X
16i1<i2<···<ik6n
Xi1Xi2···Xik.
Le but de cette partie est de montrer que l’ensemble Sdes polynômes symétriques de K[X1,...,Xn]est le sous-anneau
de K[X1,...,Xn]engendré par les polynômes symétriques élémentaires.
1. Montrer que Sest un sous-anneau de K[X1,...,Xn].
2. Pour P∈K[X1,...,Xn], on note MD(P)le monôme directeur de P, égal au monôme aXα1
1. . . Xαn
nde la
décomposition de Ppour lequel (α1,...,αn)est maximal pour l’ordre lexicographique.
Montrer que si Pest un polynôme symétrique, alors
MD(P) = aXα1
1...,Xαn
n=⇒α1>···>αn.
3. Montrer que pour tout P, Q ∈K[X1,...,Xn],MD(P Q) = MD(P)MD(Q).
4. Soit α1>···>αndes entiers naturels. Montrer que
MD(Σα1−α2
1···Σαn−1−αn
n−1Σαn
n) = Xα1
1···Xαn
n.
5. En raisonnant par récurrence sur (α1,...,αn)le n-uplet des exposants du monôme directeur de P, montrer que
tout polynôme symétrique s’ecrit comme combinaison linéaire de produits de polynômes symétriques élémen-
taires, et conclure. On pourra considérer l’ordre lexicographique sur les n-uplets (α1,...,αn), et on justifiera la
validité de la « récurrence » ainsi faite sur l’ordre lexicographique.
Partie IV – Les polynômes de degré impair >1ne sont pas irréductibles dans C[X]
On montre dans cette partie qu’un polynôme de degré impair strictement supérieur à 1 n’est pas irréductible. On
rappelle que pour tout corps K, l’anneau K[X]est principal, et on admettra que cela implique que K[X]est factoriel,
donc que tout polynôme de K[X]se décompose de façon unique (à inversibles près, et à l’ordre près des facteurs)
comme produit de polynômes irréductibles.
1. Soit P∈R[X]de degré impair. Montrer que Padmet une racine réelle.
On considère P∈C[X]de degré impair n= 2p+ 1.
Si P=
n
X
k=0
akXk, on note P=
n
X
k=0
akXk.
On suppose que Pest unitaire et irréductible, et on pose Q=P P .
2. Justifier que P6∈ R[X]et Q∈R[X].
3. Montrer que Qest irréductible dans R[X]
Soit Kun corps de décomposition de Qsur C, et α1,...,α2nles racines de Q(non nécessairement distinctes) dans
K. On définit le polynôme Rpar :
R=Y
16i<j6n
(X−(αi+αj)).
4. En remarquant que les coefficients de Rsont symétriques en les αi, montrer que R∈R[X].
5. Montrer que Radmet une racine rdans R. On définit :
S=QX+r
2et T=Q−X+r 2.
Montrer que S=T. En déduire l’existence de U∈R[X]tel que S(X) = U(X2)
6. En déduire l’existence d’une racine αde Pet conclure.
3

Partie V – Preuve algébrique du théorème de d’Alembert-Gauss
1. Soit Pun polynôme de C[X], et α1,...,αnses racines (non nécessairement distinctes) dans un corps de décom-
position Kde P. On considère comme ci-dessus
R=Y
16i<j6n
(X−(αi+αj)).
Justifier que R∈C[X], et qu’il existe un polynôme irréductible Qdivisant Ret dont la valuation 2-adique du
degré est strictement inférieure à la valuation 2-adique de degré de P.
2. Montrer le théorème de d’Alembert-Gauss par récurrence sur la valuation 2-adique du degré de P, en adaptant
la preuve de la partie IV.
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