Feuille d`exercices 7

UNIVERSIT´ E DE MONTPELLIER L1 - ANALYSE 2 (HLMA202)
ANN ´ EE : 2015-2016
Feuille d’exercices 7
2.4 (A)- D´ EVELOPPEMENTS LIMIT ´ ES :EXERCICES TH´ EORIQUES
Exercice 1. Donner les DLnen 0des fonctions ex,cos x,sin x,1
1−x,(1 + x)αet ln(1 + x).
?Exercice 2. En posant y=x−2, donner les DLnen 2des fonctions ex,(1 + x)αet ln(1 + x).
Exercice 3. Donner le DL7en π
3de cos x.
Exercice 4. Montrer que si fest une fonction paire (resp. impaire), les termes impairs (resp. pairs)
de ses DL en 0sont nuls.
?Exercice 5. Soit α∈R. Jusqu’` a quel ordre la fonction xαadmet-elle un d´ eveloppement limit´ e en 0?
Exercice 6. La fonction 1
1+|x|3admet-elle un DL2en 0? un DL3en 0? un DL4en 0?
Exercice 7. Jusqu’` a quel ordre la fonction f(x) = x6sin( 1
x)si x6= 0 et f(0) = 0 admet-elle des
DL ?
?Exercice 8. Montrer que la fonction f(x) = x2sin( 1
x)admet un DL1en 0. Sa d´
eriv´ ee f0admet-elle
un d´ eveloppement limit´ e en 0? Peut-on d´ eriver un d´ eveloppement limit´ e ?
Exercice 9. Soit f:R→Rla fonction donn´ ee par f(x) = x+x3sin( 1
x2)si x6= 0 et f(0) = 0.
Montrer que fadmet un DL2en 0, mais que fn’est pas deux fois d´ erivable en 0.
Exercice 10. Soit f:R→Rla fonction donn´ ee par f(x) = e
−1
x2pour x6= 0, et f(0) = 0.
(a) On suppose que g(x) = e
−1
x2P1
xpour x6= 0 et g(0) = 0 o`
uPest un polynˆ ome. Montrer que
g(x)−→
x→00.
(b) Montrer que fest de classe C∞sur R\ {0}et que ∀n∈N, il existe un polynome Pntel que
∀x6= 0, f(n)(x) = e−1
x2Pn1
x.
(c) En d´ eduire que fest de classe C∞sur R, et ses DL ` a tout ordre en 0.
(d) Existe-t-il une autre fonction ayant les mˆ emes DL ` a tout ordre que f?
2.4 (B)- CALCULS AVEC DES D ´ EVELOPPEMENTS LIMIT ´ ES
?Exercice 11. Donner les DL2, DL4, DL10 et DL2016 en 0de f(x) = x58 + 2x12 + 5x10 +x3.
?Exercice 12. Simplifier les expressions suivantes :
(a) f(x) = x2+Ox→0(x4)+3x4−7x6+ox→0(x7) + x3
2−x4+ox→0(x3).
(b) g(x) = −4x8−x2+ox→0(x3) + x4
12 −Ox→0(x)2+x3+ox→0(x)Ox→0(x2).
(c) h(x) = 2x+ox→0(x8) + Ox→1(x5)−x3(sic).
?Exercice 13. Sommes de DL.
(a) Donner le DL5en 0de 1
1+x+3
√1 + x.
(b) Donner le DL7en 0de ch(x) = ex+e
−x
2(cosinus hyperbolique).
(c) Donner le DL8en 0de sh(x) = ex−e
−x
2(sinus hyperbolique).
1

?Exercice 14. Produits de DL.
(a) Donner le DL3en 0de cos(x) ln(1 + x).
(b) Donner le DL6en 0de (1 −ch(x)) sin x.
?Exercice 15. Composition de DL.
(a) Donner le DL4en 0de ln(1 + sin x).
(b) Donner le DL2en 0de e√1+x.
(c) Donner le DL4de 3
√1 + cos xen 0.
?Exercice 16. Divisions de DL.
(a) Donner le DL3en 0de 1+x
2+x.
(b) Donner le DL5en 0de tan(x).
(c) Donner le DL3en 0de th(x) = sh(x)
ch(x)(tangente hyperbolique).
(d) Donner le DL4en 0de xcos x
sin x. En d´
eduire le DL3en 0de cotan(x)−1
x.
Exercice 17. ´ Etude de la fonction arctan.
(a) Montrer que la fonction tan :]−π
2,π 2[→Rest une bijection croissante. On note arctan : R→
]−π
2,π 2[sa fonction r´
eciproque. Tracer le graphe de arctan.
(b) Montrer que tan0(x) = 1 + tan(x)2, et en d´ eduire que arctan0(x) = 1
1+x2.
(c) En d´ eduire un DL en 0` a tout ordre de arctan.
Exercice 18. ´ Etude de la fonction arcsin.
(a) Montrer que la fonction sin : [−π
2,π 2]→[−1,1] est une bijection croissante. On note arcsin :
[−1,1] →[−π
2,π 2]sa fonction r´
eciproque. Tracer le graphe de arcsin.
(b) Montrer que arcsin0(x) = 1
√1−x2.
(c) En d´ eduire un DL en 0` a tout ordre de arcsin.
Exercice 19. Soit f:] −1,+∞[→Rdonn´ ee par f(x) = x+ ln(1 + x).
(a) Montrer que fest une bijection croissante de classe C∞.
(b) On note f−1:R→]−1,+∞[sa fonction r´ eciproque. Justifier que f−1est de classe C∞.
(c) Donner un DL3de fen 0.
(d) En d´ eduire un DL3de f−1en 0.Indication : on pourra poser f−1(x) = a+bx +cx2+dx3+
O0(x4)et identifier les coefficients par composition f◦f−1).
(e) Utiliser ce DL pour donner une solution approch´ ee de l’´ equation x+ln(1+x)=0,02, comparer
avec la valeur obtenue par une calculatrice.
2

On donne ici les r´ eponses num´ eriques ` a certains des exercices de la feuille.
Solution 2
(a) ex=e2+e2(x−2) + e2(x−2)2
2! +··· +e2(x−2)n n!+Ox→2(x−2)n+1.
(b) (1 + x)α= 3α+α3α−1(x−2) + α(α−1)
2! 3α−2(x−2)2+···+α(α−1)...(α−(n−1)) n!3α−n(x−2)n+
Ox→2(x−2)n+1.
(c) ln(1 + x) = ln(3) + (x−2)
3−(x−2)2
2×32+(x−2)3 3×33+··· +(−1)n+1(x−2)n
n×3n+Ox→2(x−2)n+1.
Solution 12
(a) f(x) = x2+x3
2+o0(x3). (b) g(x) = O0(x2). (c) h(x)quelconque.
Solution 13
(a) 1
1+x+3
√1 + x= 2 −2
3x+5 9x2−7 27 x3+41 81 x4−155 243 x5+O0(x6).
(b) ch(x) = 1 + x2
2! +x4 4! +x6 6! +O0(x8).
(c) sh(x) = x+x3
3! +x5 5! +x7 7! +O0(x9).
Solution 14
(a) cos(x) ln(1 + x) = x−x2
2−x3 6+O0(x4).
(b) (1 −ch(x)) sin(x) = −x3
2+x5 24 +O0(x6).
Solution 15
(a) ln(1 + sin(x)) = x−x2
2+x3 6−x4 12 +O0(x5).
(b) e√1+x=e+ex
2+O0(x3).
(c) 3
p1 + cos(x) = 3
√2−3
√2x2
4+3
√2x4
72 +O0(x5).
Solution 16
(a) 1+x
2+x=1 2+x 4−x2 8+x3 16 +O0(x4).
(b) tan(x) = x+x3
3+2x5 15 +O0(x7).
(c) th(x) = x−x3
3+2x5 15 +O0(x7).
(d) cotan(x)−1
x=−x 3−x3 45 +O0(x5).
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