RACINE CARREE - Monsieur CHAPON

3e
RACINE CARREE
DEFINITION
L’équation x² = 16 a deux solutions : 4 et -4. En effet, 4² = 16 et (-4)² = (-4) × (-4) = 16 (règle des signes …)
Cette équation a donc deux solutions qui sont opposées. 4 est la solution positive : on l’appelle la racine
carrée de 16 et on note cela : 4 = 16.
Si a est un nombre positif, alors l’équation x² = a possède deux solutions opposées : a (se lit : racine carrée
de a) désigne la solution positive (le symbole … s’appelle radical) ; la solution négative est donc - a.
Exemple : 144 = 12 car 12 est la solution positive de l'équation x² = 144.
Par contre -4 est impossible puisque l’équation x² = - 4 n’a pas de solution ; en effet le carré d’un nombre
positif ou d’un nombre négatif ne peut pas donner un nombre négatif (encore la règle des signes…) !
Remarque : un nombre dont la racine carrée est un nombre entier s’appelle un carré parfait. Par exemple
16 est un carré parfait puisque 16 = 4. Par contre 20 n’en est pas un car 20 ≈ 4,4 (troncature au dixième).
RACINE CARREE D’UN PRODUIT
Si a et b sont deux nombres positifs, alors on a :
a× b = a × b . Exemple : 3 × 5 = 3 × 5 = 15.
RACINE CARREE D’UN QUOTIENT
Si a et b sont deux nombres positifs avec b ≠ 0, alors on a :
a
=
b
21
a
. Exemple :
=
b
3
21
= 7.
3
RACINE CARREE D’UNE SOMME OU D’UNE DIFFERENCE
Il n’existe aucune formule pour calculer a + b ou a – b.
En effet, 9 + 16 = 3 + 4 = 7 alors que 9 + 16 = 25 = 5, donc 9 + 16 ≠ 9 + 16.
De même 25 – 16 = 5 – 4 = 1 alors que 25–16 = 9 = 3, donc 25 – 16 ≠ 25–16.
RACINE CARREE D’UN CARRE / CARRE D’UNE RACINE CARREE
Si a est un nombre positif alors on a : ( a )² = a .et
a² = a Exemple : ( 3 )² = 3 et 7² = 7.
DANS LA PRATIQUE
2
sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est entier :
3
2
2× 3 2 3
Je multiple le numérateur et le dénominateur par 3 (les deux fractions restent donc égales) :
=
=
.
3
3
3× 3
Ecrire la fraction
Ecrire 75 sous la forme a b avec a et b entiers et b le plus petit possible :
Je décompose 75 en essayant d’extraire le plus grand carré parfait possible : 75 = 25 × 3.
J’applique la formule
a× b = a × b : 75 =
25 × 3 = 25 × 3 = 5 × 3 = 5 3
Ecrire 5 2 + 17 32 sous la forme a b avec a et b entiers et b le plus petit possible :
5 2 + 17 32 = 5 2 + 17 16 × 2 = 5 2 + 17 × 16 × 2 = 5 2 + 17 × 4 × 2 = 5 2 + 68 2 = 73 2.
Ecrire 2 6 × 5 12 sous la forme a b avec a et b entiers et b le plus petit possible :
2 6 × 5 12 = 2 × 5 × 6 × 12 = 10 × 72 = 10 × 36 × 2 = 10 × 36 × 2 = 10 × 6 × 2 = 60 2.
Collège Ambrussum
M. CHAPON