racines carrées

2.1 Fiche CALCUL
Calculs avec les racines carrées
Rappels (encore une fois) :
Par définition, pour tout réel a positif on note a le nombre positif A tel que A2 = a.
On a donc A = a si et seulement si A2 = a.
Par suite, ( a) 2 = a
Mais attention ! a2 = a impose que a à 0 (une racine étant toujours positive).
De façon plus générale on a vu que pour tout réel a, a2 = a
Lien avec les opérations :
A retenir : la racine carrée est compatible avec la multiplication (et donc la division et les
puissances) mais PAS AVEC L’ADDITION !
En effet, (a+b)2 = a2+2ab+b2 ý a2+b2 donc inversement, a+b ý a + b
Ce qui « marche » : pour tout a à 0 et b à 0, a b = a b
an = ( a)n , n ∈ É
a
b = a
b (si b ý 0)
Réduction/simplification des fractions avec des radicaux :
Un autre rappel (encore) : on sait que quels que soient les nombres a et b, a2 – b2 = (a+b) (a-b).
Intérêt de la formule ? Si a et/ou b est une racine carrée, dans l’écriture de la différence a2-b2, il
n’y a plus de racines.
Exemple : a = 7 et b= 2 3 donne a2-b2 = 7 – 4*3 = -5.
Application : si une fraction s’écrit avec un dénominateur ayant une racine carrée, présente
dans une somme (ou une différence) de deux termes, on rendra le dénominateur entier en le
multipliant par la différence (ou la somme) des deux mêmes termes.
Remarque : ceci fait apparaître la racine au numérateur ! Elle ne disparaît donc pas mais ne
figure plus au dénominateur.
Exemples : A = 5
1- 2 . Alors A = 5(1+ 2)
(1- 2)(1+ 2) = 5(1+ 2)
1-2 = 5(1+ 2) -1 = -5(1+ 2) ;
B = -2
13+ 7 = -2( 13- 7)
(13+ 7)( 13- 7) = -2( 13- 7)
13-7 = -2( 13- 7) 6 = - (13- 7) 3 .
Exercices : page 28 n°23-24-25-26-31 et page 29 n°36 page 35 n°81.