fiche N 11 -racines carrées

Les racines carrées :
N 11
I.
Définition :
Définition : Soit a désigne un nombre positif
La racine carrée du nombre a est le nombre positif noté dont le carré est égal à a.
On note : La racine carrée du nombre a :
Ainsi :
a 0
Attention ! ! !
et
a
( a )²  a
LA RACINE CARREE D’UN NOMBRE NEGATIF N’EXISTE PAS !
Exemples :
a)
16= 4
car 4² = 16
d)
-4 n’existe pas !
b)
144 = 12
c)
0=0
car 0² = 0
car – 4 est un nombre négatif ! ! !
Propriété :
Soit a désigne un nombre positif , on a :
Exemples :
a)
3² = 3
car 12² = 144
b) ( 2,4)² = 2,4
a² = a
5
5
)² =
2
2
c) (
d)
1
( )² =
2
1/2
Définition : On appelle carré parfait un entier positif dont la racine carrée est un entier.
Ils sont à connaître :
1
x 0
0
x
1
Autre Exemple :
4
9
16
25
36
49
64
81
100 121
144 169 196 225
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
40 000 est un carré parfait car
11
13
14
15
40 000 = 200
Exercices rédigés :
2 3
1°) Donner l’écriture la plus simple possible du nombre : (
)²
3
2 3
2²  ( 3)²
(
)² =
* on applique les propriétés de calcul sur les puissances.
3
3²
43
=
* on effectue les calculs : 2² = 4 ( 3)² = 3 et 3² = 9
9
4
=
* on simplifie
3
2°) Développer l’expression : 2 (3 2 – 4)
2(3 2–4)=3 2 2–4 2
* on applique k(a – b) = ka – kb
=32–4
=6–4 2
II.
2
* car :
2
2 = ( 2)² = 2
Propriétés:
Propriétés : Soient a et b désignent des nombres positifs, et b 0 ,
a
a
On a
a b= ab
et
=
b
b
Attention !!! : Il n’y a aucune propriété générale pour la somme et la différence !
Exercices rédigés :
1°) Ecrire 72 sous la forme a b, avec a et b entiers et b le plus petit possible.
72 = 2  36 = 4  28 = 8  9 = 3  24
→ on repère les carrés parfaits parmi ces produits :
il y a 36, 4, et 9.
72 = 2  36 = 2  36 = 2  6 = 6 2
→ On choisit le plus grand : 36
Remarque :
si on avait choisi 9, on aurait :
72 =
89=
8
9=
83=3
8.
Cette écriture est bien de la forme a
b mais ici b n’est pas le plus petit possible !
2°) simplifier l’écriture de l’expression 5 18 – 7 8 – 3 2.
5 18 – 7 8 – 3 2
tout d’abord :
18 = 9  2 = 9 2 = 3 2
= 53 2 – 72 2 – 3 2
et
8 = 4  2 = 4 2 = 2 2
= 15 2 – 7 2 – 3 2
= (15 – 7 – 3 ) 2
=-2 2
3°) Développer l’expression 3(5 2 - 3). Ecrire le résultat sous la forme la plus simple possible.
3(5 2- 3)=5 3 2- 3 3
car 2  3 = 2  3 = 6
et
3 3=
( 3)² = 3
=5 6–3
4°)
B=
B=
B=
B=
B=
B=
B=
Développer puis réduire :
( 2 + 3)(1 - 2) + 5 2
E = (2 3 + 1)²
( 2 + 3)(1 - 2) + 5 2
E = (2 3)² + 22 3  1 + 1²
[ 21 + 2(- 2) + 31 + 3(- 2)] + 5 2
E = 4( 3)² + 4 3 + 1
[ 2 – 2 + 3 - 3 2] + 5 2
E = 43 + 4 3 + 1
[ -2 + 3 + 2 - 3 2] + 5 2
E = 12 + 4 3 + 1
1–2 2+5 2
E = 13 + 4 3
1+3 2
7
5°) Ecrire le quotient
sans radical au dénominateur.
5
7
7 5
7 5
=
=
= 1,4 5
5
5
5 5
III.
Equations du type x² = a :
Propriété : a étant un nombre positif donné.
L’équation x² = a admet exactement 2 solutions :
racine carrée de a.
a , la racine carrée de a, et -
Remarques :
 0 est l’unique solution de l’équation x² = 0.
 Si a est négatif, l’équation x² = a n’admet aucune solution !!!
Exemples :

L’équation x² = 9 a pour solutions : 3 et - 3

L’équation t² =


L’équation x² = 5 a pour solutions : 5 et - 5
L’équation x² = - 1 n’admet AUCUNE solution !
3
a pour solutions :
4
3
3
=
et 4
2
3
3
= 4
2
a , l’opposé de la