fiche N 11 -racines carrées

Les racines carrées :
I. Définition :
Définition : Soit a désigne un nombre positif
La racine carrée du nombre a est le nombre positif noté dont le carré est égal à a.
On note : La racine carrée du nombre a :
a
Ainsi :
0a
et
( )²aa
Attention ! ! ! LA RACINE CARREE D’UN NOMBRE NEGATIF N’EXISTE PAS !
Exemples :
a) 16= 4 car 4² = 16 b) 144 = 12 car 12² = 144 c) 0 = 0 car 0² = 0
d) -4 n’existe pas ! car – 4 est un nombre négatif ! ! !
Propriété : Soit a désigne un nombre positif , on a : a² = a
Exemples : a) 3² = 3 b) ( 2,4)² = 2,4 c) ( 5
2)² = 5 2 d) (1 2)² = 1/2
Définition : On appelle carré parfait un entier positif dont la racine carrée est un entier.
Ils sont à connaître :
x
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Autre Exemple : 40 000 est un carré parfait car 40 000 = 200
Exercices rédigés :
1°) Donner l’écriture la plus simple possible du nombre : (2 3
3)²
(2 3
3)² = 2²  ( 3)² 3² * on applique les propriétés de calcul sur les puissances.
= 4  3
9 * on effectue les calculs : 2² = 4 ( 3)² = 3 et 3² = 9
= 4
3 * on simplifie
2°) Développer l’expression : 2 (3 2 – 4)
2 ( 3 2 – 4 ) = 3  2  2 – 4  2 * on applique k(a – b) = ka – kb
= 3  2 – 4  2 * car : 2  2 = ( 2)² = 2
= 6 – 4 2
II. Propriétés:
Propriétés : Soient a et b désignent des nombres positifs, et b 0 ,
On a a  b = a  b et a
b = a
b
Attention !!! : Il n’y a aucune propriété générale pour la somme et la différence !
Exercices rédigés :
1°) Ecrire 72 sous la forme a b, avec a et b entiers et b le plus petit possible.
72 = 2  36 = 4  28 = 8  9 = 3  24 → on repère les carrés parfaits parmi ces produits :
il y a 36, 4, et 9.
72 = 2  36 = 2  36 = 2  6 = 6 2 → On choisit le plus grand : 36
Remarque : si on avait choisi 9, on aurait : 72 = 8  9 = 8  9 = 8  3 = 3 8.
N 11

Cette écriture est bien de la forme a b mais ici b n’est pas le plus petit possible !
2°) simplifier l’écriture de l’expression 5 18 – 7 8 – 3 2.
518 – 7 8 – 3 2 tout d’abord : 18 = 9  2 = 92 = 3 2
= 53 2 – 72 2 – 3 2 et 8 = 4  2 = 42 = 2 2
= 15 2 – 7 2 – 3 2
= (15 – 7 – 3 ) 2
= - 2 2
3°) Développer l’expression 3(5 2 - 3). Ecrire le résultat sous la forme la plus simple possible.
3 ( 5 2 - 3 ) = 5  3  2 - 3  3 car 2  3 = 2  3 = 6 et 3  3 =
( 3)² = 3
= 5 6 – 3
4°) Développer puis réduire :
B = ( 2 + 3)(1 - 2) + 5 2
B = ( 2 + 3)(1 - 2) + 5 2
B = [ 21 + 2(- 2) + 31 + 3(- 2)] + 5 2
B = [ 2 – 2 + 3 - 3 2] + 5 2
B = [ -2 + 3 + 2 - 3 2] + 5 2
B = 1 – 2 2 + 5 2
B = 1 + 3 2
E = (2 3 + 1)²
E = (2 3)² + 22 3  1 + 1²
E = 4( 3)² + 4 3 + 1
E = 43 + 4 3 + 1
E = 12 + 4 3 + 1
E = 13 + 4 3
5°) Ecrire le quotient 7
5 sans radical au dénominateur.
7
5 = 7  5 5  5 = 7 5
5 = 1,4 5
III. Equations du type x² = a :
Propriété : a étant un nombre positif donné.
L’équation x² = a admet exactement 2 solutions : a , la racine carrée de a, et - a , l’opposé de la
racine carrée de a.
Remarques :
 0 est l’unique solution de l’équation x² = 0.
Si a est négatif, l’équation x² = a n’admet aucune solution !!!
Exemples :
 L’équation x² = 9 a pour solutions : 3 et - 3
 L’équation t² = 3
4 a pour solutions : 3
4 = 3 2 et - 3 4 = - 3 2
 L’équation x² = 5 a pour solutions : 5 et - 5
 L’équation x² = - 1 n’admet AUCUNE solution !