Racines carrées

Racines carrées
I – Définition
Soit a un nombre positif ou nul : on appelle racine carrée de a (et on note
a
) le
nombre positif dont le carré est égal à a.
Exemples : la racine carrée de 81 est 9 car 99=81 ; on écrit
81
=9
0
=0 car 00=0.
1
=1 car 11=1.
Remarques : la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas ! on n’écrira jamais
25
!
Une racine carré n’a pas forcément une valeur décimale. Par exemple,
3
1,7. On laissera alors le résultat sous la forme
3
.
II – Équations x2=a
on distingue trois cas :
* a>0 ; l’équation x2=a possède alors deux solutions :
a
et -
a
* a =0 ; l’équation x2=0 possède une unique solution : 0.
* a<0 ; l’équation x2=a ne possède pas de solution.
Exemples : Les solutions de l’équation x2=49 sont
49
et -
49
, c’est à dire 7 et –7.
L’équation x2=-100 ne possède pas de solution
III – Formules
1 Soient a et b deux nombres positifs. L’unique nombre positif dont le carré est égal à
ab se note
ab
. Mais considérons le nombre
ab
: c'est lui aussi un nombre positif et le
calcul de son carré donne :
ab
2ab
 ab  aabba
2b 2ab
Il n’y a qu’un seul nombre positif dont le carré est égal à ab ; or
ab
2ab 2ab
Donc :
Soient a et b deux nombres positifs. On a :
abab
Exemples :
250 250 100 10
72 36236 26 2
Remarque : attention, en général
abab
et
abab
Par exemple,
16 25 459
mais
16 25 41 9
2 Soient a et b deux nombres positifs, b n’étant pas nul. On peut écrire :

a
b
2
a
ba baa bba
2
b
2a
b
Donc
a
b
est un nombre positif dont le carré est égal à
a
b
. Comme il n'y en a qu'un, on
peut en déduire que :
Si a et b deux nombres positifs (b0), on a :
a
ba
b
Exemple :
192
3192
364 8