Racines carrées

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Racines carrées
1
Définition
– Un nombre négatif n’a pas de racine carrée.
– Soit a un nombre positif (au sens large),
√
a est le nombre positif dont le carré vaut a.
Donc par définition, si a ≥ 0, alors
√
a×
√
√ 2
a= a =a
Conséquences :
– Tout nombre positif
√ est un carré. Par exemple :
9 est le carré de √9 = 3,
6 est le carré de 6
– Tout nombre positif est une racine
carrée. Par exemple :
√
7 est la racine carrée de 49 : 49 = 7
π est la racine carrée de π 2 .
2
Équations carrées
Une équation carrée est une équation du type :
x2 = a
où a est un nombre connu.
Une telle équation a deux, une seule, ou aucune solution suivant la valeur de a.
Exemples : 1) x2 = 17
√
√
17 est un nombre positif donc l’équation a deux solutions : 17 et − 17.
2) x2 = 0
Cette équation a une unique solution : 0
3) x2 = −16
−16 est négatif, l’équation n’a aucune solution.
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3
Règles de calcul
Pour tous nombres positifs a et b :
√
4
√
√
a×b= a× b
r
et
√
a
a
= √
b
b
√
a2 = a
Applications
Les règles de calcul précédentes s’utilisent dans les cas suivants :
Simplifications
√
√
√
√
√
112 = 16 × 7 = 16 × 7 = 4 7
Calculs de produits, de quotients
√
√
√
√
√
√
√
√
32 × 14 = 32 × 14 = 32 × 2 × 7 = 64 × 7 = 64 × 7 = 8 7
r
r
r
√
√
√
√
3
63
3
63
3 × 63
27
27
3 3
√ × √ =
×
=
=
= √ =
14
2
14 × 2
4
2
14
2
4
Calculs de sommes
On ne dispose pas de règle de calcul concernant l’addition ou la soustraction, mais
quand on retrouve la même racine carrée en facteur, on peut factoriser :
√
√
√
√
√
√
40 − 160 + 2 250 = 4 × 10 − 16 × 10 + 2 25 × 10
√
√
√
√
√
√
= 4 × 10 − 16 × 10 + 2 25 × 10
√
√
√
= 2× 10 − 4× 10 + 2 × 5× 10
√
= 10 × (2 − 4 + 10)
√
= 8 10
Évaluations d’expressions
√
Calculer A = 2x2 − 3x + 4 pour x = 6 :
√ 2
√
√
√
A = 2 6 − 3 6 + 4 = 2 × 6 − 3 6 + 4 = 16 − 3 6
5
Exercice breveté
√
Calculer A et B et présenter les résultats sous la forme a b, avec a et b entiers et b le
plus petit possible :
√
√
√
A = 3 45 + 2 20 − 4 80
√
√
√
B = 18 × 8 × 50