Racines carrées

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Racines carrées
1 Définition
– Un nombre négatif n’a pas de racine carrée.
– Soit aun nombre positif (au sens large),
√aest le nombre positif dont le carré vaut a.
Donc par définition, si a≥0, alors
√a×√a=√a2=a
Conséquences :
– Tout nombre positif est un carré. Par exemple :
9est le carré de √9=3,
6est le carré de √6
– Tout nombre positif est une racine carrée. Par exemple :
7est la racine carrée de 49 :√49 = 7
πest la racine carrée de π2.
2 Équations carrées
Une équation carrée est une équation du type :
x2=a
où aest un nombre connu.
Une telle équation a deux, une seule, ou aucune solution suivant la valeur de a.
Exemples : 1) x2= 17
17 est un nombre positif donc l’équation a deux solutions : √17 et −√17.
2) x2= 0
Cette équation a une unique solution : 0
3) x2=−16
−16 est négatif, l’équation n’a aucune solution.

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3 Règles de calcul
Pour tous nombres positifs aet b:
√a×b=√a×√bet ra
b=√a
√b√a2=a
4 Applications
Les règles de calcul précédentes s’utilisent dans les cas suivants :
Simplifications
√112 = √16 ×7 = √16 ×√7 = 4√7
Calculs de produits, de quotients
√32 ×√14 = √32 ×14 = √32 ×2×7 = √64 ×7 = √64 ×√7 = 8√7
√3
√14 ×√63 √2=r3
14 ×63 2=r3×63 14 ×2=r27 4=√27
√4=3√3
2
Calculs de sommes
On ne dispose pas de règle de calcul concernant l’addition ou la soustraction, mais
quand on retrouve la même racine carrée en facteur, on peut factoriser :
√40 −√160 + 2√250 = √4×10 −√16 ×10 + 2√25 ×10
=√4×√10 −√16 ×√10 + 2√25 ×√10
= 2×√10 −4×√10 + 2 ×5×√10
=√10 ×(2 −4 + 10)
= 8√10
Évaluations d’expressions
Calculer A= 2x2−3x+ 4 pour x=√6:
A= 2√62 −3√6 + 4 = 2 ×6−3√6 + 4 = 16 −3√6
5 Exercice breveté
Calculer Aet Bet présenter les résultats sous la forme a√b, avec aet bentiers et ble
plus petit possible :
A= 3√45 + 2√20 −4√80
B=√18 ×√8×√50