RACINES CARREES

RACINES CARREES
-1- Définition
Soit x un nombre positif,
la racine carrée de x est le nombre positif a dont le carré est ce nombre x .
Notation :
x
x
a= 2
x
a=
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
2
Comme 0 = 0, alors on a : 0= 0
Exemples :
1 1 ; 4 2 ; 9 3 ; 16 4 ; ... 225 15=== = =
1,5625 1,25 ; 36000000 6000==
21,414≈
Remarque :
Si un nombre a une racine carrée décimale alors celle-ci a deux fois moins de zéros ou deux fois moins de chiffres après
la virgule que le nombre.
Conséquences de la définition : 22
1) Pour tout nombre positif ou nul on a : et
x
xx xx
=
= 2
2) Le simple fait d'écrire sous entend que : 1) 0 2) 0 3)
x
axaxa=≥≥=
-2- Propriétés
Sous réserve d'existence des nombres écrits on a toujours :
et
mais si et sont non nuls alors on a : et
aa
ab a b bb
ab ab a b ab a b
×= × =
+≠ + −≠ −
Le produit des racines carrées de deux nombres relatifs positifs est égal à la racine
carrée du produit de ces deux nombres.
Le quotient des racines carrées de deux nombres relatifs positifs est égal à la racine
carrée du quotient de ces deux nombres.
Application, simplification d'écriture, exemples :
5725362536 2562302=×= ×=×=
27 27 9 3 9 3 3 3
4222
4
××
== = =

-3- Résultats à connaître
x
x
D
2
x
La longueur de la diagonale d'un carré de côté x est
égale à : 2
x
.
xx
x
D
3
x
La longueur de la diagonale d'un cube d'arrête x est
égale à : 3
x
.
x
x
/2
3
2
x
h
x
La hauteur d'un triangle équilatéral de côté x est
égale à :
3
2
x
mesure en degrés 0 30 45 60 90
cosinus 1
3
2 2 2 1
2 0

-4- Résolution des équations du type : X2 = a
Trois cas sont possibles :
1/ Si le nombre a est négatif il n'y a aucune possibilité (car un carré n'est jamais négatif).
L'équation a zéro solution.
2/ Si le nombre a est égal à 0 il y a une seule possibilité : X = 0
3/ Si le nombre a est positif il y a deux possibilités : X = a ou X = – a
Exemples :
2
(3) 9
L'égalité est impossible, l'équation n'a pas de solution.
x−=−
2
(2 1) 0
210
21
1
21
2
L'équation a une solution :
x
x
x
x
−=
−=
=
=
2
(1) 2
12 1 2
12 12
12 12
ou
ou
L'équation a deux solutions : et
x
xx
xx
−=
−= −=−
=+ =−
+−
2
(5 1) 16
514 514
53 5 5
31
531
5
ou
ou
ou
L'équation a deux solutions : et
x
xx
xx
xx
+=
+= +=−
==−
==−
−