Equations et inéquations

Racines carrées
I) Définition
Soit a un nombre positif. La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a.
On a :
aa 2
. Si a < 0,
a
n'existe pas.
 " " est appelée "racine de" ou "radical de".
Exemples :
00 
;
11 
;
749 
;
33 2
.
 Si a est un nombre positif,
aa2
. Exemples :
992
;
552
.
 Utilisation de la calculatrice : Sur les calculatrices, la touche donne la valeur exacte OU une
valeur approchée de la racine carrée d'un nombre.
Exemples :
414,12 
;
732,13 
;
11121 
.
 Calculer :
261122692232323 2
2
2
.
310282531035352353 2
22 
.
9716747474 2
2
.
2
352 
;
2
175 
;
25322532 
.
II) Résolution de l'équation x2 = a
 n'a pas de solution si a < 0.
L'équation x2 = a  a une seule solution nulle si a = 0.
 a deux solutions,
a
et
a
, si a > 0.
Résoudre :
 x2 = -5. Comme -5 < 0, cette équation n'a pas de solution.
 x2 = 17.
x2 =
2
17
; x2 –
2
17
= 0 ;
01717  xx
 Deux solutions :
17
et
17
.
OU BIEN "Comme 17 > 0, cette équation admet deux solutions :
17
et
17
."
III) Propriétés
1) Racine carrée d'un produit
Soient a et b deux nombres positifs. On a :
aaaa 2
;
bbbb 2
.

D'où :
22 babbaaabab 
.
Donc, si a  0 et b  0, alors
baab 
.
"Simplifier l'écriture de" : Rendre l'entier sous la racine le plus petit possible.
Exemples :
242421621632 2
.
34032583258758
2) Racine carrée d'un quotient
Soient a et b deux nombres positifs, avec b non nul.
On a :
b
a
b
a2
;
b
a
b
a
b
a2
2
2
; d'où
22
b
a
b
a
.
Donc, si a  0 et b > 0, alors
b
a
b
a
(écriture intermédiaire).
Il faut éviter la présence d'un radical au dénominateur.
Exemples :
b
b
b
b
b
1
b
1
. Donc
b
b
b
1
.
3
21
3
3
3
7
3
7
3
7
.
5
10
5
2
50
20 
.
3) Addition et soustraction de radicaux
916916
.734916
.525916 
; d'où
baba 
.
925925
.235925
.416925 
; d'où
bab-a 
.
IL N'EXISTE AUCUNE REGLE GENERALE SUR L'ADDITION ET LA SOUSTRACTION DE
RADICAUX.
Exercice : Simplifier l'écriture des nombres :
.29220282325246429250412818 A
.216212282121623642924323128184B