Cinématique Newtonienne

Cinématique Newtonienne
1. Chronophotographie du mouvement d’un point mobile M :
1.1. nécessité de choisir un référentiel :
Voir l’animation « changement de référentiel » page 10 sur le site www.physiquepovo.com
► Définir ce qu’est la trajectoire d’un point mobile M :
► Qu’est-ce qu’une chronophotographie ?
► La trajectoire suivie par la balle (lâchée par le cycliste) est-elle la même pour tous les observateurs ?
Pourquoi ?
► Existe-t-il des objets immobiles dans l’univers ?
Un référentiel est un objet choisi arbitrairement et considéré comme immobile, par rapport auquel on
étudie le mouvement d’un autre objet auquel on s’intéresse.
On lui associe un repère d’espace (par exemple un repère orthonormé O , i , j )
un repère de temps (une horloge)
afin de pouvoir repérer la position d’un point mobile M en fonction du temps dans ce référentiel.
► Quand dit-on que le mouvement de M est rectiligne ?
circulaire ?
curviligne ?
1.2. Qu’est-ce qu’un référentiel galiléen ?
Les lois de la physique ne sont valables que dans certains référentiels appelés référentiels galiléens.
► Qu’est-ce qu’un référentiel galiléen ?
Tout objet immobile par rapport à la terre (paillasse, salle de classe) est appelé « référentiel terrestre ».
Foucault a montré que ce référentiel pouvait être considéré comme galiléen
pour une expérience de courte durée (quelques minutes).
Pour l’étude des satellites terrestres, il faut utiliser le référentiel géocentrique :
C’est un objet mathématique : un repère centré sur le centre de la terre et dont
les axes sont dirigés vers des étoiles "fixes".
Il est animé d’un mouvement de translation et effectue le tour du soleil en un an.
Pour l’étude des planètes du système solaire, il faut utiliser le référentiel de Copernic
(ou héliocentrique) qui est centré sur le centre du soleil et dont les axes sont dirigés vers
des étoiles "fixes".
Voir l’animation « référentiels hélio et géocenriques » page 14 sur le site www.physiquepovo.com 1

∆
V
2
= V
3
– V
1
0,20m.s
–
1
4
5,0 m.s
–
2
a
2
0,20m.s
–
1
τ
= 2,0.10
–2
s
1.3. Vecteur vitesse d’un point mobile M:
Si un point M est immobile dans le référentiel choisi, la valeur V de sa vitesse est …………
Mais si ce point se déplace au cours du temps d’une distance d pendant la durée ∆t, on définit sa vitesse
moyenne sur cet intervalle de temps par la relation :
Remarque :
La valeur V de la vitesse de M est un nombre positif, suivi d’une unité (m.s
–1
)
Sur un document chronophotographique de période
τ
, on calcule la vitesse de M
à un instant t donné comme sa vitesse moyenne entre les instants t – τ et t + τ.
Mais cette vitesse a aussi une direction et un sens.
On peut donc la représenter par un vecteur V.
Les caractéristiques du vecteur vitesse V
1
du mobile M à l’instant t
1
sont :
* origine : la position du mobile à cet instant, soit M
1
.
* direction : la tangente à la trajectoire en ce point (parallèle au segment M
0
M
2
)
* sens : celui du déplacement de M, c'est-à-dire de M
0
vers M
2
* valeur :
Choix d’une échelle pour représenter les vecteurs vitesse :
La longueur du vecteur vitesse V
1
sur le document dépend d’une échelle choisie arbitrairement.
Il est conseillé de choisir l’échelle des vitesses de façon à ce que le vecteur V
1
ait la même longueur sur le
document que le vecteur déplacement associé M
0
M
2
.
Echelle pour les vitesses : Le vecteur vitesse V
1
mesure 4,2cm sur le document. Sa valeur est de 21cm.s
–1
Donc 4,2cm 21cm.s
–1
soit 1cm 5cm.s
–1
Remarque : Si la valeur de la vitesse du point mobile M reste constante au cours du temps, on dit que le
mouvement de M est uniforme. Mais cela n’empêche pas son vecteur vitesse de varier (en direction).
1.4. Vecteurs variation de vitesse et accélération d’un point mobile :
Le vecteur variation de vitesse d'un point mobile G, noté ∆V
2
, correspond à la
variation du vecteur vitesse de G entre les instants t
1
et t
3
:
Le point d’application du vecteur ∆V
2
est la position de G à l’instant t
2
, soit G
2
.
Attention!
La valeur de ∆V
2
n’est pas égale à V
3
– V
1
car la soustraction est vectorielle.
Il faut mesurer la longueur du vecteur ∆V
2
sur le document et multiplier la
valeur lue par l’échelle des vitesses.
Sur l’exemple ci-contre, || ∆V
2
|| = 1,9 x 0,20 = 0,38 m.s
–1
Remarque: si l’échelle des vitesses a été choisie de façon à ce que les vecteurs « vitesse »
aient la même longueur sur le document que les vecteurs « déplacement » associés, la
méthode ci-contre permet de déterminer ∆V
2
plus rapidement…
On obtient le vecteur accélération
a
2
à l’instant t
2
en divisant ∆V
2
par ∆t = t
3
– t
1
= 2. τ
Dans cet exemple, 0,38 / 4,0.10
–2
9,5 m.s
–2
Il est conseillé de choisir l’échelle des accélérations de façon à ce que le vecteur
a
2
ait la même longueur sur le document que le vecteur variation de vitesse associé ∆V
2
.
Echelle pour les accélérations : 1,0cm 5,0 m.s
–2
=
∆
V
2
2
τ
a
2
=
∆
V
2
2
τ
a
2
ll
ll
=
=
2
d
∆
t
V =
M
0
M
2
2
τ
V
1
=
5
cm
4,2
x
5
2
x
0,5
V
1
= = 21 cm.s
–
1
τ
= 0,50s
5 cm
.s
–
1
M
0
M
2
2
τ
V
1
=

1.4. Vecteur quantité de mouvement p d'un point matériel G
Il est égal au produit de la masse m du point matériel par son vecteur vitesse V
G
.
Le vecteur quantité de mouvement d’un système isolé ou pseudo-isolé reste constant au cours du temps.
► Quelle est l'unité de sa valeur dans le système international d'unité ?
► Qu’est-ce qu’un système isolé ? et pseudo-isolé ?
► Calculer un ordre de grandeur de la valeur de la quantité de mouvement du
TGV Eurostar de m = 752t pouvant transporter 766 personnes.
Application: propulsion par réaction d'une fusée.
Une fusée de masse totale 200 tonnes est initialement immobile dans le référentiel de Copernic
loin de tout astre attracteur.
Elle éjecte une masse m =10 tonnes de gaz avec une vitesse moyenne V
g
de valeur 5000m.s
–1
.
► Calculer la quantité de mouvement totale de la fusée avant éjection du gaz.
► De quoi est constitué le système dont la quantité de mouvement se conserve pendant l’expulsion
du gaz ? Justifier.
► En déduire la valeur V
f
de la vitesse de la fusée à la fin de l’éjection de cette quantité de gaz.
► Si la fusée éjecte à nouveau la même masse de gaz avec la même vitesse relative, peut-on affirmer que sa
vitesse va doubler ? Justifier.
Comment déterminer les composantes d'un vecteur V dans une base { i , j }
V = V
x
i + V
y
j pour cet exemple : V
x
= –V.sin α et V
y
= +V.cos α
Chaque composante s’exprime comme un signe (+ ou –),
suivi de la valeur V de la force,
multiplié par sinα (si la composante correspond au côté opposé pour l’angle α)
ou cosα (si la composante correspond au côté adjacent pour l’angle α).
► Déterminer les composantes du vecteur U ci-contre si α = 40° et U = 20m.s
–1
:
3
p = m.V
G
p
V
G
V
f
V
g
M
m
V y
V x
j
i
V
x
y
α
j
i
U
x
y
α
G

2. Etude mathématique :
On s’intéresse au mouvement d’un point mobile G dans un référentiel.
On peut repérer la position de ce point G au cours du temps grâce à ses coordonnées
cartésiennes x et y dans un repère d’espace ( O , i , j ) lié à ce référentiel.
Le vecteur OG est le vecteur position du point mobile G à l’instant t : OG = x i + y j
x et y sont 2 fonctions du temps appelées équations horaires du mouvement de G, notées : x (t) et y (t) .
Le vecteur vitesse V G du point mobile G est la dérivée de son vecteur position par rapport à la variable
temps
V G = = x i + y j avec x = dx/dt ...
Dériver un vecteur revient à dériver chacune de ses composantes
Exemple :
Les équations horaires d’un point matériel G de masse
m=200g sont : x (t) = 2t + 1 et y (t) = t
2
– 1 unités : m et s
Comment est définie la trajectoire du point G ?
Déterminer l’équation de la trajectoire suivie par G
en éliminant le temps entre les équations horaires.
On obtient ainsi l’équation d’une courbe dans le plan.
Représenter, dans un repère ( O , i , j ) , les positions
occupées par G aux instants t 0 = 0s et t 2 = 2s.
Calculer les coordonnées des vecteurs vitesse de G à ces
deux instants et représenter les vecteurs correspondants.
Calculer les valeurs de ces vecteurs.
Représenter les vecteurs quantité de mouvement du point matériel G aux instants t 0 = 0s et t 2 = 2s.
Le vecteur accélération a
G
du point mobile G est la dérivée de son vecteur vitesse (par rapport à la variable
temps) :
a
G
= dV G /dt = x i + y j avec x = dérivée de x
Quelle est l'unité de l'accélération ?
Que peut-on dire du vecteur accélération du point mobile G étudié précédemment ?
dOG
dt
.
.
.
x
y
j
i
x’
y'
y
x
G
O
¨ ¨ ¨
.
4

3. Quelques mouvements simples:
3.1. le mouvement rectiligne uniforme:
* Quelles sont les caractéristiques de ce mouvement ?
* Quelles sont les propriétés du vecteur vitesse et du vecteur accélération ?
* Représenter en les justifiant les courbes correspondant aux variations de x , de V
x
et de a
x
en fonction de t.
3.2. le mouvement rectiligne uniformément accéléré (c'est-à-dire à accélération constante):
* Quelles sont les caractéristiques de ce mouvement ?
* Quelles sont les propriétés du vecteur vitesse et du vecteur accélération ?
* Représenter en les justifiant les courbes correspondant aux variations de x , de V
x
et de a
x
en fonction de t.
3.3. le mouvement circulaire uniforme:
* Quelles sont les caractéristiques de ce mouvement ?
* Quelles sont les propriétés du vecteur vitesse et du vecteur accélération ?
Les représenter sur le document ci-contre.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
C
5