LE PRISME

Q Instruments d’optique (31-108) Page 1 sur 4 JN Beury
A
face
d’entrée face
de sortie
arête
base
i
1
i
2
r
1
r
2
A
D
LE PRISME
I. DÉFINITIONS ET QUATRE RELATIONS FONDAMENTALES
I.1 Définition
Un prisme est un dièdre d’angle A formé de l’association de deux
dioptres plans air/verre et verre/air. Ces deux dioptres forment les
faces utiles du prisme.
L’intersection des faces utiles constitue l’arête du prisme.
La troisième face est la base du prisme.
On étudie des rayons lumineux dans un plan orthogonal à l’arête, appelé
plan de section principale.
Les lois de Descartes de la réfraction permettent de conclure que les
rayons réfractés sont dans le plan d’incidence.
Tous les rayons lumineux transmis sont donc dans le plan de section
principale.
Par la suite, on fera une projection dans ce plan.
I.2 Quatre relations fondamentales
L’angle A du prisme est un angle géométrique positif.
Attention à l’orientation des angles du prisme. On a deux orientations
différentes pour les angles. Les angles suivants peuvent être positifs ou
négatifs.
Orientation dans le sens trigonométrique : i1, r1.
Orientation dans le sens des aiguilles d’une montre : i2, r2 et D.
On ne représente pas les rayons réfléchis.
Dans certaines applications en TP, on aura besoin du rayon réfléchi sur la face d’entrée.
On distingue :
• Lois de Descartes sur la face d’entrée : 11
sin sinin r
=
• Lois de Descartes sur la face de sortie : 22
sin sininr
=
• On un triangle d’angle au sommet A : 12
22
Ar r
ππ
π
+
−+ − = , d’où 12
A
rr
=
+
• La déviation du rayon lumineux vaut :
(
)
(
)
1211 22
DDD ir i r=+=−+−. Comme 12
A
rr
=
+, on a : 12 Dii A=+−
On en déduit les 4 relations fondamentales du prisme à connaître par cœur avec le schéma associé :
11
22
12
12
sin sin
sin sin
in r
inr
Arr
Dii A
=
=
=+
=+−
On verra par la suite que l’on travaille très souvent dans une configuration proche du schéma représenté, c'est-à-dire
r1 et r2 proches ainsi que i1 et i2 proches et positifs.
i
1
i
2
r
1
r
2
A
D

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A
r
1
λ
−λ
λ
2 λ
12
i
π
=
22
i
π
=
I.3 Conditions d’émergence du prisme (HORS PROGRAMME)
Nous allons étudier dans ce paragraphe les conditions d’émergence d’un rayon lumineux.
Cette étude n’est pas au programme et donnée à titre d’approfondissement.
• L’angle i1 peut varier entre 2
π
− et 2
π
. On en déduit que r1 peut varier entre
λ
−
et
λ
tel que : 1sinn
λ
=.
On a alors 1
r
λ
λ −≤ ≤
• La condition d’émergence sur la face de sortie est que 2
sin i soit défini. Il faut donc avoir 2 sin 1nr
≤
, soit
2
1
sin rn ≤. On doit avoir : 2
r
λ
λ −≤ ≤ . Or 12
A
rr
=
+. On doit avoir : 1 Ar
λ
λ
−
≤−≤, soit 1 rA
λ
λ −≤ − ≤ et
finalement : 1
A
rA
λ
λ −+ ≤ ≤ + .
On représente un diagramme r1 en fonction de A. Les deux conditions doivent être vérifiées : 1
1
r
A
rA
λλ
λλ
−≤ ≤
−+ ≤ ≤ +
• Si 2A
λ
>, aucune rayon lumineux ne sort du prisme.
• Si 2A
λ
λ ≤≤ , r1 varie entre r0 (positif) et
λ
. Donc i1 varie entre i0 (tel que 22
i
π
=
) et 2
π
.
• Si A
λ
≤, r1 varie entre r0 (négatif) et
λ
. Donc i1 varie entre i0 (négatif) et 2
π
.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/optiqueGeo/prisme/prisme.html
II. ÉTUDE DE LA DÉVIATION DU RAYON ÉMERGENT
II.1 Déviation en fonction de l’indice
On part des 4 relations du prisme :
1
1
22
12
12
sin sin
sin sin
in r
inr
Ar r
Dii A
=
=
=+
=+ −
L’angle i1 est fixé. Par contre, la lumière incidente est une lumière polychromatique, c'est-à-dire qu’elle est constituée
de plusieurs longueurs d’onde. D’après la loi de Cauchy, 2
B
nA
λ
=+ , l’indice dépend de la longueur d’onde. Les
angles r1, r2, i2 et D vont donc dépendre de la longueur d’onde. On a entouré les grandeurs variables.
Méthode : écrire la différentielle des 4 relations précédentes avec i1, A constants. Le calcul se termine facilement.

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111
22 2 22
12
2
0dsin cosd
cos d d sin cos d
0d d
dd
nrn rr
ii n rn rr
rr
Di
=+
=+
=+
=
, d’où 222
2
dsin cos d
dcos
nrn rr
Di
+
= avec 1
2
1
dsin
dcos
nr
rnr =
On a :
2
dsin
d
nrn
D
+
=
1
2
dsin
cos nr rn
()
12
12121
222
sin
cos sin cos cos sin
dd
cos cos cos cos cos
rr
rrrrr
nn
iirir
+
+
==
On en déduit :
2
dsin
d0
dcoscos
DA
n
nir
=>
.
D’après la loi de Cauchy : 2
B
nA
λ
=+ . On a
R
B
λ
λ >, donc
R
B
nn
<
et
R
B
DD
<
.
Application : dispersion de la lumière blanche dans un prisme. On a donc un étalement du spectre.
Pour un prisme, le rouge est moins dévié que bleu.
Pour un réseau, le rouge est plus dévié que le bleu (voir cours sur le réseau – 2ème année)
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/optiqueGeo/prisme/prisme.html
II.2 Déviation en fonction de l’angle d’incidence sur la face d’entrée
On part des 4 relations du prisme :
1
1
22
12
12
sin sin
sin sin
in r
inr
Ar r
DiiA
=
=
=+
=+−
.
On travaille avec n et A fixés. Il suffit de repérer une raie particulière. En TP, on utilisera une lampe à vapeur de
sodium. On travaillera par exemple avec une raie jaune qui correspond à une longueur d’onde bien déterminée et donc
un indice bien déterminé.
Si on tourne le prisme, l’angle d’incidence i1 varie, ainsi que r1, r2, i2 et D.
La différentielle des 4 relations du prisme s’écrit :
11 1 1
22 22
12
12
cos d cos d
cos d cos d
0d d
ddd
ii n r r
ii n rr
rr
Di i
=
=
=+
=+
21 21
1
21
cos cos cos cos
dd cos cos
ir ri
Di ir
−
=
On cherche le minimum de déviation : 21 21
1
d0 cos cos cos cos 0
d
Dir ri
i=⇔ − =
On cherche une relation entre i1 et i2. On élève au carré et on utiliser 22
cos sin 1xx
+
= puis les lois de Descartes.
22 2 2
21 21
cos cos cos cosir ri=, d’où
(
)
(
)
(
)
(
)
22 2 2
21 21
1sin 1sin 1sin 1sinir ri−−=−−
1
2
21
22
sin
sin i in −−
2
21
22
sin
sin 1
i
in −=
22
22
22
11
22
sin sin
sin sin
ii
ii
nn
−−−
22
12
22
11
sin 1 sin 1ii
nn
−= −
, d’où 22
12
sin sinii= et 12 ii
=
±.
• Si 12
ii=− , alors 12 rr=− et A = 0. C’est impossible.
• Si 12
ii=, alors 12 rr=. On a alors
11
1
1
sin sin
2
2
in r
Ar
DiA
=
=
=−
. D’où
sin 2
sin 2
A
D
nA
+
=

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i
1
i
2
r
1
r
2
A
D
indice n
On retient qu’au minimum de déviation, le tracé du rayon lumineux est symétrique par rapport au plan
bissecteur de l’angle du prisme. On a alors 12 ii
=
et 12 rr
=
. La déviation minimale est notée Dm.
On en déduit facilement à partir des relations fondamentales du prisme
sin 2
sin 2
m
AD
nA
+
=
.
Avec Regressi, on peut représenter la courbe D en fonction de i. On vérifie expérimentalement et avec Regressi qu’il
s’agit bien d’un minimum.