2Niv2_Fct_chap 4

Mathématiques 2e Niv.1 et 2 Deuxième partie : Fonctions Théorie chapitre 4
COLLEGE SISMONDI (G.E+S.Z.) 2012 - 2013 CH. 4, P.43
CHAPITRE 4
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
§4.1 Introduction : les angles
4.1.1 Unités de mesure des angles
Deux unités de mesure sont couramment utilisées pour les angles : degrés et radians. Ces deux unités se
trouvent sur toutes le calculatrices scientifiques et sont abrégées généralement : DEG et RAD. En général,
la calculatrice travaille par défaut en degrés et il faut changer de mode si l'on veut travailler avec l’autre
unité.
Définitions:
Le degré est la mesure de la 90e partie d'un angle droit.
Le radian est la mesure de tout angle au centre qui intercepte sur un cercle quelconque un arc qui a
la même longueur que le rayon du cercle. (Pour la justification et l'explication de cette définition voir ci-
dessous)
Considérons un angle et trois cercles concentriques. Le
même angle α détermine sur les trois cercles, trois arcs dont
les longueurs sont respectivement l1 , l2 et l3 .
De l'égalité des trois rapports suivants :
l1
2πr1
=
l2
2πr2
=
l3
2πr3
,
on peut tirer :
l1
r
1
=
l2
r2
=
l3
r3
Le rapport
l
r
=
longueur de l'arc
longueur du rayon
ne dépend pas du cercle considéré, mais de l'angle α tracé; ce
rapport, appelé la mesure en radians de l'angle α, est noté :
α(rad) =l
r
et ceci quelle que soit l'unité
de mesure adoptée pour les longueurs, pour autant qu'elle soit la même. Cette mesure en RAD étant
le rapport entre deux segments mesurés avec la même unité, est donc un nombre "pur", c'est-à-dire
un nombre non accompagné par une unité de mesure : en d'autres mots, α(rad) est un nombre réel.
La formule
α(rad) =l
r
, très utile, se trouve dans la table numérique (p. 38, sous la forme l = αr),
Si, dans la formule précédente, le rayon vaut 1, on a α(rad) = l, donc, sur un cercle de rayon unitaire,
la mesure d'un angle en radians est égale à la longueur de l'arc intercepté sur ce cercle. C'est pour
cette raison, qu'en trigonométrie, on travaille toujours en prenant comme cercle de référence un cercle
de rayon unitaire (r = 1), appelé cercle trigonométrique.
Si, dans la formule précédente, l'arc est le cercle entier ( l = 2π r ), on obtient la mesure en rad de
l'angle au centre correspondant à un tour complet:
α(rad) =
l
r
=
2πr
r
= 2π : la mesure du tour complet en radians est 2π.
La mesure du même angle en degrés est 360°

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Le tableau ci-dessous donne la correspondance entre les mesures d'angles en degrés et en radians.
Degrés
0°
30°
45°
60°
90°
180°
360°
Radians
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
2π
Combien un angle dont la mesure est de α(deg), mesure-t-il en radians?
Il est évident que la mesure en radians d'un angle de 1° est
1
360
de 2π.
Alors la mesure en radians d'un angle de α(deg) est α(deg)
2π
360
,
ce qu'on écrit α(rad) =
α(deg) ⋅2π
360°
⇔
€
α (rad)
2 π
=
α °
360°
Si l'on veut prendre comme angle de référence, l'angle plat, on a alors :
€
α (rad)
π (rad) =
α °
180°
Si l'arc a la même longueur que le rayon, on a :
α(rad) =
l
r
=
r
r
= 1 :
l'angle α, dans ce cas, mesure 1 radian.
Cette situation correspond à la définition vue précédemment.
Une question se pose immédiatement :
« Quelle est la mesure en degrés d'un angle de 1 radian ?».
Il est possible d'y répondre en utilisant :
α(rad)
2π=α(deg) 360°
, ce qui nous donne 57,2957795 ° = 57° 17' 44,8''
Par la suite, nous utiliserons principalement les radians, et un peu moins fréquemment les degrés.
4.1.2 Extension de la notion d’angle
Soit un cercle trigonométrique centré en l'origine <0;0> d'un repère
orthonormé du plan. Soit une copie de l'ensemble R, tangente au
cercle au point <1; 0>. On enroule cette copie de l'ensemble R
autour du cercle trigonométrique:
• le nombre 0 de R "reste en place", c'est-à-dire sur le
point <1;0>.
• le nombre
π
2
est envoyé sur le point <0; 1>,
• π sur le point <-1; 0>,
• 2π sur <1; 0>,
• -π sur <-1; 0>, etc…
r
r
1 rad
1
2
3
-1
-2
-3
π
-π
π/2
<1;0>
<-1;0> <0;0>
<0;1>
<0;-1>

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L'orientation de la droite-copie de Rdonne le sens
trigonométrique des angles: le sens positif est le
sens inverse de celui des aiguilles d'une montre. On
parle d'angles orientés quand on a soit des angles
positifs, soit des angles négatifs.
L’application de R sur le cercle trigonométrique n’est pas bijective.
En effet, il s’agit d’une application, puisque à chaque nombre x ∈ R (préimage) correspond un est un seul
point (image) du cercle trigonométrique. Cependant, comme à chaque point (image) du cercle
correspondent une infinité de nombres réels (préimages) qui diffèrent d'un nombre entier de 2π, l’application
n’est pas bijective.
§4.2 Les fonctions trigonométriques
4.2.1 Définitions des fonctions trigonométriques.
Soit un nombre réel x, sur la droite copie de R, tangente au
cercle en S.
A ce nombre réel x correspond un point du cercle
trigonométrique.
La mesure en rad de l'angle SOP =
longueur arc
rayon
=
x
1
= x.
Au même nombre x correspondent donc :
à la fois la mesure d'un segment, d'un arc de cercle et d'un angle.
Définitions :
L'abscisse de ce point P du cercle trigonométrique est cos(x), donc cos(x) est la mesure
algébrique du segment OA.
L'ordonnée de ce point P du cercle trigonométrique est sin(x), donc sin(x) est la mesure algébrique
du segment AP.
+
-
... , −4π, −2π, 0, 2π, 4π, 6π, ...
... , −3π, −π, π, 3π, 5π, ...
... , −5π/2, −π/2, 3π/2, ...
... , −3π/2, π/2, 5π/2, ...
... , −7π/4, π/4, 9π/4, ...
OA
P
x
x
S=<1;0>
cosx
sinx

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De plus, si l'on prolonge la droite OP jusqu'à son intersection T avec la droite copie de (la tangente
au cercle en <1;0>), la mesure algébrique du segment ST est, par définition, la tangente du même
nombre réel x.
Remarque :
Il est évident que le nombre tg(x) n'est défini lorsque x ∈{....−
5π
2
; −
3π
2
; −
π
2
; +
π
2
; +
3π
2
; +
5π
2
; ...}
c'est-à-dire lorsque x ∈ {
π
2+ k ⋅ π
} et k ∈ .
Selon les différents quadrants du cercle
trigonométrique, les fonctions trigonométriques
ont les signes différents suivants :
4.2.2 Propriétés immédiates
A) Selon les définition données, quel que soit le nombre réel x, on a :
-1 ≤ sin(x) ≤ 1 -1 ≤ cos(x) ≤ 1
Il est possible ainsi de définir les trois fonctions trigonométriques :
sin : → [-1;1]
x  sin(x)
cos : → [-1;1]
x  cos(x)
tg : \
€
π
2+k⋅
π
$
%
&
'
(
)
} →
x  tg(x) et k∈
Remarques :
1. Il est également possible de trouver la fonction cotangente, qui est définie comme suit :
cotg(x) =
cos(x)
sin(x)
.
2. Les fonctions sinus et cosinus sont bornées. car, | cos(x)| ≤ 1 et |sin(x)| ≤ 1.
Définition d’une fonction bornée :
Une fonction f est dite bornée (globalement), s'il existe un nombre réel B tel que : |f(x)| ≤ B ∀x ∈ Df.
OA
Px
x
S=<1;0>
cosx
sinx
tgx
T
O
x
x
Axe du cosinus
Axe de la tangente
Axe du sinus
tgx
cosx
sinx
I
II
III IV
cos(x) > 0
sin(x) > 0
tg(x) > 0
cos(x) < 0
sin(x) > 0
tg(x) < 0
cos(x) < 0
sin(x) < 0
tg(x) > 0
cos(x) > 0
sin(x) < 0
tg(x) < 0

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B) En appliquant le théorème de Pythagore, on a la relation suivante entre sin(x) et cos(x) :
€
sin2(x) +cos 2(x) =1
C) Il existe une relation fondamentale liant sin(x), cos(x) et tg(x). On
peut trouver facilement cette relation en considérant les deux
triangles semblables ABO et OCD.
D'après le théorème de Thalès, on a :
AB
CD =OB OC
(*);
En utilisant les définitions précédentes du sinus, du cosinus et de
la tangente, on a :
OC
= 1,
AB
= | sin(x) |,
OB
= | cos(x) | et
CD
= | tg(x) |
et l'égalité précédente (*) devient :
| sin(x)|
| cos(x) |
=
| tg(x)|
1
De plus, l'égalité ci-dessus est également vraie en signe, puisque la tangente est positive lorsque
sin(x) et cos(x) sont de même signe et négative lorsque sin(x) et cos(x) sont de signes contraires; on
peut donc écrire :
tg(x) =sin(x)
cos(x)
En considérant l'égalité ci-dessus, on peut vérifier que la tangente n'est pas définie pour {
π
2
+ k. π } et
k ∈ , donc Df = \ {
π
2+ k ⋅ π
} et k ∈ .
D) D'autre part, on sait que des nombres réels qui diffèrent d'un multiple de 2π sont envoyés sur le même
point du cercle; cela signifie que ces deux nombres réels ont le même sinus et le même cosinus :
si x' = x + 2kπ, alors sin(x') = sin(x) et cos(x') = cos(x).
Ces égalités peuvent aussi s'écrire : sin(x + 2kπ) = sin(x) et cos(x + 2kπ) = cos(x).
Donc, pour n'importe quel nombre réel x, on a :
sin(x + 2kπ) = sin(x) cos(x + 2kπ) = cos(x)
et pour n'importe quel nombre réel x appartenant à \{
π
2+ k ⋅ π
} où k ∈
tg(x+kπ) = tg(x)
Définition d'une fonction périodique :
Si, pour une fonction réelle f, il existe un nombre réel T tel que pour tout nombre réel x on ait
f(x + T) = f(x), on dit que la fonction f est périodique et que T est une période de cette fonction.
A
O
R
B
D
C