Angles orientés - Emmanuel MORAND

Devoir maison de math´ematiques n◦5
Exercice 1
1. D´eterminer la mesure principale associ´ee `a chacune des mesures suivantes :
15π
2
34π
7−65π 3−73π 6
2007π
5
2. D´eterminer la valeur exacte du cosinus et du sinus des r´eels suivants :
−5π
3
7π
4
19π
6
Exercice 2
Exprimer en fonction de sin xet de cos xles expressions suivantes :
cos(5π+x) sin(3π
2+x) cos(3π−x) sin(5π 2−x)
Exercice 3
R´esoudre les (in)´equations suivantes :
cos x=−
√3
2;x∈[π 2;3π 2]−1 2<sin x < √3 2;x∈[−π 2;π 2]
Exercice 4
On consid`ere le syst`eme suivant avec x∈[0; 2π] :
2 sin x−4 cos x=√3 + 2
sin x+√3 cos x= 0
1. D´eterminer cos xet sin x.
2. En d´eduire la valeur de x.
Exercice 5
1. D´eterminer les coordonn´ees cart´esiennes des points de coordonn´ees polaires suivantes :
A(2; 3π
2)B(2; −π 4)C(1 2;11π 6)
2. D´eterminer les coordonn´ees polaires des points de coordonn´ees cart´esiennes suivantes :
D(3; −3) E(−1
2;√3 2)F(√3; 1)
1/2

Devoir maison de math´ematiques n◦5
Exercice 6
On consid`ere un triangle ABC avec (−−→ AB, −→ AC) = −π
2[2π] et (−−→
BA, −−→ BC) = π
3[2π] .
1. Faire une figure.
2. En utilisant la relation de Chasles, prouver que :
(−→ CA, −−→ CB) = (−→ AC, −−→ AB) + (−−→ BA, −−→ BC) + π[2π]
3. En d´eduire la mesure principale de l’angle orient´e (−→ CA, −−→ CB) .
Exercice 7*
Prouver que pour tout triangle ABC : (−−→ AB, −→ AC) + (−−→ BC, −−→ BA) + (−→ CA, −−→ CB) = π[2π].
Exercice 8*
D´eterminer dans chaque cas l’ensemble des points Mde coordonn´ees polaires (r, θ) v´erifiant
l’´equation donn´ee :
r= 3 θ=π
3[2π]rcos θ= 3
Exercice 9**
On consid`ere un rep`ere orthonorm´e (O, I, J). D´eterminer l’´equation en coordonn´ees polaires
du cercle de centre Ipassant par O.
Exercice 10**
On consid`ere deux points Aet Bdistincts du plan. D´eterminer l’ensemble des points M
v´erifiant la relation :
(−−→ MA, −−→ MB) = −π
6[2π]
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