Techniques de calcul intégral - Site Personnel de Arnaud de Saint

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
Résumé de cours : Techniques de calcul intégral
A ce stade de l’année, on insiste surtout sur la partie calculatoire. Ce chapitre sera repris en cours d’année, où
nous démontrerons certains résultats admis pour le moment, comme par exemple le théorème fondamental de
l’analyse. Nous n’avons pas abordé :
• la notion de fonction continue par morceaux
• la construction de l’intégrale à l’aide de fonctions en escaliers
• les études de fonctions définies par des intégrales
• la formule de taylor avec reste intégral
• les méthodes numériques de calcul d’intégrale : méthodes des rectangles (donc pas encore de sommes de
Riemann) et des trapèzes
• la technique générale de décomposition en éléments simples
Questions de cours
1. |
Z
f| 6
[a,b]
Z
|f | (preuve : |f | − f > 0 donc
[a,b]
2. Primitive de ln
3. justifier l’existence de
4. In =
R1
0
R1
sin x
x
0
R
(|f | − f ) > 0, donc
5. si f est continue et paire (resp. impaire) sur [−a, a], alors
6.
1
dx
−1 x2 +2x+5
=
|f | −
R
f > 0).
dx.
xn sin(x2 ) dx tend vers 0 quand n tend vers +∞
R1
R
π
.
8
Ra
−a
f =2
Ra
0
f
Intégrale d’une fonction continue
On admet que l’on peut définir l’intégrale sur un segment [a, b] de toute fonction continue. De plus,
on a les propriétés suivantes :
R
1. Si f est constante égale à k, alors
2. Linéarité :
R
[a,b] (λf
+ g) = λ
R
[a,b] f
+
R
[a,b] g
3. Relation de Chasles : si c ∈ [a, b], alors
R
4. Positivité : si f > 0 sur [a, b], alors
5. Croissance : si f > g sur [a, b], alors
6. Inégalité triangulaire : |
Z
f| 6
[a,b]
= k(b − a).
[a,b] f
Z
R
[a,b] f
R
[a,c] f
+
R
[a,b] f
>
R
[a,b] g
|f |
[a,b]
Extension de la définition avec a et b quelconques : notation
On a alors
Rb
a
f (t) dt = −
Ra
b
f (t) dt.
Si de plus f est à valeurs dans C, on pose
2
[c,b] f .
>0
[a,b] f
R
=
Rb
a
f (t) dt =
Rb
a
Rb
a
f (t) dt.
Re(f (t)) dt + i
Rb
a
Im(f (t)) dt.
Lien entre primitive et intégrale
1. Définition d’une primitive, deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent
d’une constante.
Exemples :
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• arctan est une primitive sur R de x 7→
1
1+x2
, et arcsin une primitive sur ] − 1, 1[ de x 7→
√ 1
.
x2 −1
• Si u est une fonction dérivable ne s’annulant pas, une primitive de
2. Théorème fondamental de l’analyse :
u′
u
est ln |u| .
R
si f est une fonction continue sur I et a ∈ I, la fonction Fa : x 7→ ax f (t) dt est l’unique
primitive de f s’annulant en a, en particulier c’est une fonction de classe C 1 sur I et on a
Fa′ (x) = f (x).
On en déduit le résultat capital suivant :
pour toute primitive F de f , si b ∈ I, on a
Rb
a
f (t) dt = F (b) − F (a) .
Autrement dit pour calculer une intégrale, il suffit de chercher des primitives !
Exemples :
R1
1
0 1+x2
dx = arctan 1 − arctan 0 = π4 .
3. Application : calcul d’intégrales du type
réelles :
R
1
ax2 +bx+c
dx, en discutant selon le nombre de racines
• si ∆ > 0, on décompose en éléments simples, par exemple, la fraction F (x) =
1
(x−1)(x−2)
=
b
a
x−1 + x−2 ,
en remarquant que a est égal à (x−1)F (x) évalué en 1 et b est égal à (x−2)F (x)
évalué en 2.
• si ∆ = 0, par exemple
R
dx
(x−1)2
=
−1
x−1 .
• si ∆ <
0, on écrit le polynôme sous forme canonique pour se ramener à une intégrale du
R dx
type 1+x
2 = arctan x
R
(x)
dx avec P un polynôme, quitte à
On peut ainsi calculer toute intégrale du type ax2P+bx+c
2
effectuer la division euclidienne de P par ax + bx + c si deg P > 2.
3
Deux outils fondamentaux
1. L’intégration par parties (IPP)
Applications :
• calcul de primitives comme ln, arctan ou x 7→ x2 ex (double IPP).
Une primitive de ln est x 7→ x ln x − x .
• obtention de relation de récurrence pour des suites définies par des intégrales comme celles
de Wallis par exemple
2. Le changement de variable.
Application :
• si f est continue et paire (resp. impaire) sur [−a, a], alors
• Si f est T périodique, on a
Rb
a
f=
R b+T
a+T
f et
R a+T
a
f=
RT
0
Ra
−a f
f .
=2
Ra
0
f (resp.
Ra
−a f
= 0) .
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Applications ou compléments
1. Il faut savoir déterminer
par encadrements des limites de suites définies par des intégrales. Par
R
exemple In = 01 xn sin(x2 ) dx tend vers 0 quand n tend vers +∞.
2. Dérivation de fonctions du type φ : x 7→
Z
v(x)
f (t) dt .
u(x)
Il faut savoir dériver une fonction du type φ : x 7→
Z
v(x)
u(x)
f (t) dt, on a φ′ (x) = f (v(x))v ′ (x) −
f (u(x))u′ (x).
3. La comparaison série intégrale : si f est une fonction continue positive et monotone, il
faut savoir dans le cadre d’exercice comparer la nature des suites
sn =
n
X
f (k)
Vs
In =
k=1
On montre ainsi
Hn =
n
X
1
k=1
k
∼
Z
1
n
Z
n
f (t) dt.
1
dt
= ln n .
t