Techniques de calcul intégral - Site Personnel de Arnaud de Saint

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1
Résumé de cours : Techniques de calcul intégral
A ce stade de l’année, on insiste surtout sur la partie calculatoire. Ce chapitre sera repris en cours d’année, où
nous démontrerons certains résultats admis pour le moment, comme par exemple le théorème fondamental de
l’analyse. Nous n’avons pas abordé :
• la notion de fonction continue par morceaux
• la construction de l’intégrale à l’aide de fonctions en escaliers
• les études de fonctions définies par des intégrales
• la formule de taylor avec reste intégral
• les méthodes numériques de calcul d’intégrale : méthodes des rectangles (donc pas encore de sommes de
Riemann) et des trapèzes
• la technique générale de décomposition en éléments simples
Questions de cours
1. |Z[a,b] f|6Z[a,b] |f|(preuve : |f| − f>0 donc R(|f| − f)>0, donc R|f| − Rf>0).
2. Primitive de ln
3. justifier l’existence de R1
0
sin x
xdx.
4. In=R1
0xnsin(x2) dxtend vers 0 quand ntend vers +∞
5. si fest continue et paire (resp. impaire) sur [−a, a], alors Ra
−af= 2 Ra
0f
6. R1
−1
dx
x2+2x+5 =π
8.
1 Intégrale d’une fonction continue
On admet que l’on peut définir l’intégrale sur un segment [a, b] de toute fonction continue. De plus,
on a les propriétés suivantes :
1. Si fest constante égale à k, alors R[a,b]f=k(b−a).
2. Linéarité : R[a,b](λf +g) = λR[a,b]f+R[a,b]g
3. Relation de Chasles : si c∈[a, b], alors R[a,b]f=R[a,c]f+R[c,b]f.
4. Positivité : si f>0 sur [a, b], alors R[a,b]f>0
5. Croissance : si f>gsur [a, b], alors R[a,b]f>R[a,b]g
6. Inégalité triangulaire : |Z[a,b]
f|6Z[a,b]
|f|
Extension de la définition avec aet bquelconques : notation Rb
af(t) dt.
On a alors Rb
af(t) dt=−Ra
bf(t) dt.
Si de plus fest à valeurs dans C, on pose Rb
af(t) dt=Rb
aRe(f(t)) dt+iRb
aIm(f(t)) dt.
2 Lien entre primitive et intégrale
1. Définition d’une primitive, deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent
d’une constante.
Exemples :

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•arctan est une primitive sur Rde x7→ 1
1+x2, et arcsin une primitive sur ] −1,1[ de x7→
1
√x2−1.
• Si uest une fonction dérivable ne s’annulant pas, une primitive de u′
uest ln |u|.
2. Théorème fondamental de l’analyse :
si fest une fonction continue sur Iet a∈I, la fonction Fa:x7→ Rx
af(t) dtest l’unique
primitive de fs’annulant en a, en particulier c’est une fonction de classe C1sur Iet on a
F′
a(x) = f(x).
On en déduit le résultat capital suivant :
pour toute primitive Fde f, si b∈I, on a Rb
af(t) dt=F(b)−F(a).
Autrement dit pour calculer une intégrale, il suffit de chercher des primitives !
Exemples : R1
01
1+x2dx= arctan 1 −arctan 0 = π
4.
3. Application : calcul d’intégrales du type R1
ax2+bx+cdx, en discutant selon le nombre de racines
réelles :
• si ∆ >0, on décompose en éléments simples, par exemple, la fraction F(x) = 1
(x−1)(x−2) =
a
x−1+b x−2, en remarquant que aest égal à (x−1)F(x) évalué en 1 et best égal à (x−2)F(x)
évalué en 2.
• si ∆ = 0, par exemple Rdx
(x−1)2=−1
x−1.
• si ∆ <0, on écrit le polynôme sous forme canonique pour se ramener à une intégrale du
type Rdx
1+x2= arctan x
On peut ainsi calculer toute intégrale du type RP(x)
ax2+bx+cdxavec Pun polynôme, quitte à
effectuer la division euclidienne de Ppar ax2+bx +csi deg P>2.
3 Deux outils fondamentaux
1. L’intégration par parties (IPP)
Applications :
• calcul de primitives comme ln, arctan ou x7→ x2ex(double IPP).
Une primitive de ln est x7→ xln x−x.
• obtention de relation de récurrence pour des suites définies par des intégrales comme celles
de Wallis par exemple
2. Le changement de variable.
Application :
•si fest continue et paire (resp. impaire) sur [−a, a], alors Ra
−af= 2 Ra
0f(resp. Ra
−af= 0) .
• Si fest Tpériodique, on a Rb
af=Rb+T
a+Tfet Ra+T
af=RT
0f.

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4 Applications ou compléments
1. Il faut savoir déterminer par encadrements des limites de suites définies par des intégrales. Par
exemple In=R1
0xnsin(x2) dxtend vers 0 quand ntend vers +∞.
2. Dérivation de fonctions du type φ:x7→ Zv(x)
u(x)
f(t) dt.
Il faut savoir dériver une fonction du type φ:x7→ Zv(x)
u(x)
f(t) dt, on a φ′(x) = f(v(x))v′(x)−
f(u(x))u′(x).
3. La comparaison série intégrale : si fest une fonction continue positive et monotone, il
faut savoir dans le cadre d’exercice comparer la nature des suites
sn=
n
X
k=1
f(k) Vs In=Zn
1
f(t) dt.
On montre ainsi
Hn=
n
X
k=1
1
k∼Zn
1
dt
t= ln n.