L`intégration

L’intégration
Définition de l’intégrale
Pour calculer l’intégrale de la fonction fsur l’intervalle (a, b), on subdi-
vise cet intervalle au moyen de points xk:
a=x0< x1< x2<· · · < xn=b,
on choisit dans chaque sous-intervalle (xk−1, xk)un point tkoù l’on évalue
la fonction et on forme la somme
Sn=f(t1)(x1−x0) + f(t2)(x2−x1) + · · · +f(tn)(xn−xn−1).
Par définition,
Zb
a
f(x)dx = lim
n→+∞Sn.
Lorsque la fonction est positive, l’intégrale représente l’aire délimitée par
a
b
xk-1
xk
tk
y=fHxL
x
y
la courbe y=f(x)et les droites x=a, x =bet y= 0. Dans le cas général,
on peut toujours interpréter l’intégrale comme une valeur moyenne :
valeur moyenne de f sur (a,b) =1
b−aZb
a
f(x)dx.
1

En pratique, c’est à l’aide du théorème fondamental du calcul que l’on évalue
une intégrale. Ce théorème affirme que la dérivation et l’intégration sont des
opérations inverses l’une de l’autre. On peut l’énoncer ainsi : si Fest une
primitive de la fonction f, c’est-à-dire si
F0(x) = f(x),
alors
Zb
a
f(x)dx =F(b)−F(a).
Le calcul de l’intégrale est ainsi ramené à la détermination d’une primitive
de f(qui est cependant souvent beaucoup plus difficile que le calcul de
sa dérivée). L’expression intégrale indéfinie est quelquefois employée à la
place de primitive et la notation standard pour désigner la primitive Fde
la fonction fest
F(x) = Zf(x)dx +C
(la primitive n’est déterminée qu’à une constante additive Cprès).
Exemples
•Zb
a
x2dx =b3−a3
3
•Zπ
0
cos x dx = sin π−sin 0 = 0
•Z1
0
dx
1 + x2= arctan 1 −arctan 0 = π 4
•Z+∞
0
e−xdx = lim
b→+∞Zb
0
e−xdx = lim
b→+∞
e0 −e−b= 1
Exercices
Calculer les intégrales suivantes.
1. Zb
a
√x dx
2. Zπ/2
0
sin x dx
3. Z1
0
dx
1 + x
2

Pour en savoir plus
http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1. 2
3b3/2−a3/22 .13. ln 2
3